TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS10/Beispiel 3.4

[Geometrische Verteilung] Betrachten Sie einen Produktionsprozeß, bei dem jede Stunde zufällig 20 Elemente zur Prüfung entnommen werden. X sei die Zahl der Elemente, die sich dabei als defekt herausstellen. Man nehme an, daß die Elemente bezüglich dieser Eigenschaft (intakt/defekt) unabhängig sind.

(a) Wenn der Defektanteil der Produktion 1% beträgt, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Stichprobe von Stunde 10 die erste Stichprobe mit X > 1 ?

(b) Wie (a), aber mit Defektanteil 4%.

(c) Wenn der Defektanteil 4% beträgt, wieviele Stichproben muß man im Mittel entnehmen, bis erstmals X > 1 ?

Lösung von lunar

a)

x ... binomial
y ... geometrisch

${\begin{aligned}W(X>1)&=1-W(0)-W(1)\\&=1-{\binom {20}{0}}\cdot 0,01^{0}\cdot 0,99^{20}-{\binom {20}{1}}\cdot 0,01^{1}\cdot 0,99^{19}\\&=0,01686=p_{y}\end{aligned}}$

$W(Y=10)=p_{y}\cdot (1-p_{y})^{(10-1)}=1,45\%$

b)

${\begin{aligned}W(X>1)&=1-W(0)-W(1)\\&=1-{\binom {20}{0}}\cdot 0,04^{0}\cdot 0,96^{20}-{\binom {20}{1}}\cdot 0,04^{1}\cdot 0,96^{19}\\&=0,18966=p_{y}\end{aligned}}$

$W(Y=10)=p_{y}\cdot (1-p_{y})^{(10-1)}=2,86\%$

c)

Erwartungswert

$\mathbb {E} (Y)={\frac {1}{p_{y}}}={\frac {1}{0,18966}}=5,27$

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