TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Gurker)/Übungen WS11/Beispiel 3.1

[Verteilungsfunktion] Die Verteilungsfunktion einer stochastischen Größe $X$ sei gegeben durch:

F(x)={\begin{cases}0&{\text{für}}\ x<0\\{\frac {x}{2}}&{\text{für}}\ 0\leq x<1\\{\frac {2}{3}}&{\text{für}}\ 1\leq x<2\\{\frac {11}{12}}&{\text{für}}\ 2\leq x<3\\1&{\text{für}}\ 3\leq x\end{cases}}

a) Stellen Sie die Funktion grafisch dar.

b) Überzeugen Sie sich davon, dass es sich um eine Verteilungsfunktion handelt. (Welche Eigenschaften müssen dafür erfüllt sein?)

c) Wie lautet der Merkmalraum $M_{X}$ ?

d) Ist die Verteilung diskret, stetig oder gemischt?

e) Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

a)

P\{X<3\}

b)

P\{X=1\}

c)

P\{X>{\frac {1}{2}}\}

d)

P\{2<X\leq 4\}

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1)

0\leq F(x)\leq 1\quad \forall x\in \mathbb {R}

2)

x_{1}<x_{2}\Rightarrow F(x_{1})\leq F(x_{2})

3)

\lim _{x\rightarrow -\infty }F(x)=0\quad {\text{und}}\quad \lim _{x\rightarrow \infty }F(x)=1

$M_{X}=[0,1)\cup \{1,2,3\}$

0\leq x\leq 1\quad \ldots {\text{stetig}}

x>1\quad \ldots {\text{diskret}}

a)

P\{X<3\}={\frac {11}{12}}

b)

P\{X=1\}={\frac {2}{3}}-\lim _{h\rightarrow 0}({\frac {2}{3}}-h)={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{2}}={\frac {1}{6}}

c)

P\{X>{\frac {1}{2}}\}=1-F({\frac {1}{2}})={\frac {3}{4}}

d)

P\{2<X\leq 4\}=F(4)-F(2)={\frac {1}{12}}

von --Raven24 (Diskussion) 14:34, 1. Okt. 2014 (CEST) (aus dem Forum übernommen)