TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 57

In einem Büro arbeiten vier Sekretärinnen, die 40%, 10%, 30% und 20% der Unterlagen wegordnen. Die Wahrscheinlichkeiten, dass hierbei Fehler auftreten sind 0.01, 0.04, 0.06 und 0.1.

• a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fehler gemacht wird?
• b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine falsch geordnete Unterlage von der dritten Sekretärin abgelegt wurde?

Lösungsvorschlag von samuel

wir haben:

• $S_{i}$ Unterlage von Sekretärin i abgelegt.
• $F_{i}$ Fehler durch Sekretärin i.

Angabe:

• $P(S_{1})=0.4$
• $P(S_{2})=0.1$
• $P(S_{3})=0.3$
• $P(S_{4})=0.2$
• $P(F_{1}|S_{1})=0.01$
• $P(F_{2}|S_{2})=0.04$
• $P(F_{3}|S_{3})=0.06$
• $P(F_{4}|S_{4})=0.1$

a)

$P(F)=P(F_{1})+P(F_{2})+P(F_{3})+P(F_{4})$ $=P(S_{1})P(F_{1}|S_{1})+P(S_{2})P(F_{2}|S_{2})+P(S_{3})P(F_{3}|S_{3})+P(S_{4})P(F_{4}|S_{4})$ $=0.40\cdot 0.01+0.10\cdot 0.04+0.06\cdot 0.30+0.20\cdot 0.1=0.046$

b)

$P(F_{3}|F)={\frac {P(F_{3}\cap F)}{P(F)}}={\frac {P(F_{3})}{P(F)}}$ $={\frac {P(S_{3})P(F_{3}|S_{3})}{P(F)}}$ $={\frac {0.30\cdot 0.06}{0.046}}=0.391$

Lösungsvorschlag von Florian

a)

$P(A)=P(S_{1})\cdot P(F_{1})+P(S_{2})\cdot P(F_{2})+P(S_{3})\cdot P(F_{3})+P(S_{4})\cdot P(F_{4})$ $=0.40\cdot 0.01+0.10\cdot 0.04+0.06\cdot 0.30+0.20\cdot 0.1=0.046=4.6\%$

b)

$P(B)={\frac {P(S_{3})\cdot P(F_{3})}{P(A)}}={\frac {0.30\cdot 0.06}{0.046}}=0.391=39.1\%$