TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 116

Bei der Produktion von Bolzen beträgt der Sollwert für den Durchmesser 10 mm. Es kann angenommen werden, dass der Duchmesser X normalverteilt ist mit dem unbekannten Erwartungswert µ und der durch die Technologie der Maschine festgelegten Standardabweichung $\sigma =0.5mm$. Zur Überprüfung der Einstellung werden 100 Teile entnommen und daraus der mittlere Durchmesser $\overline{x}=10.15mm$ berechnet.

a) Prüfen Sie auf dem Signifikanzniveau $\alpha =5\mathrm{\%}$ die Hypothese H₀ : µ = 10 mm.
b) Bestimmen Sie die Gütefunktion G(µ) des Test in a) und stellen Sie diese in Abhängigkeit von µ grafisch dar. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, wenn mit dem mittleren Durchmesser von µ = 10:15 mm produziert wird?

c) Wie groß muss der Stichprobenumfang n mindestens sein, damit für den Test in a) bei gleicher Hypothese H₀ und gleichem $\alpha$für die Alternativhypothese H1 : µ = 10.15 mm die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art $\beta (10.15)$ höchstens 0.05 beträgt?

Lösung von Moritz.f

Nachdem ich heute an der Tafel gut geschwitzt hab, das Beispiel nicht wirklich zu können, hier die Nach-der-Übung-sind-wir-schlauer-Erklärung:

a)

$\begin{array}{c}{H}_0:\mu =10\\ H_1:\mu \ne 10\Rightarrow 2-seitigerN-VerteilterTest\\ Z=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\\ Z=\frac{10.15-10}{\frac{0.5}{\sqrt{100}}}=3\\ Z_{1-\frac{\alpha }{2}}=1.96<3\Rightarrow H_{0}verworfen\end{array}$

b)

Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art ist das Quantil einer anderen Verteilung mit Erwartungswert µ1 zwischen den kritischen Grenzen der Ursprungsverteilung µ0 (+/-1.96 in unserem Bsp):

$G(\mu )=1-\beta =1-P(|Y|\le 1.96)$ wobei Y die Zufallsvariable ist, die nach $H_1:\mu ={\mu }_1$, $N({\mu }_1,\frac{{\sigma }^2}{n})$ verteilt ist.

Jetzt setzt man diesen Erwartungswert von Y in die Formel für Z ein. Z ist daher so verteilt:
$Z\sim N(\frac{{\mu }_1-{\mu }_0}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}},1)$
Um auf eine N(0,1) zu kommen, muss man also diesen Erwartungswert noch abziehen, um G(µ) auszurechnen:
$\begin{array}{ccc}G(\mu )& =& 1-\beta \\ & =& 1-P(-1.96\le Y\le 1.96)\\ & =& 1-P(-1.96-\frac{{\mu }_1-{\mu }_0}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\le Z-\frac{{\mu }_1-{\mu }_0}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\le 1.96-\frac{{\mu }_1-{\mu }_0}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}})\end{array}$

Daher ist die Gütefunktion nun: $G(\mu )=1-\Phi (1.96-\frac{{\mu }_1-10}{\frac{0.5}{10}})+\Phi (-1.96-\frac{{\mu }_1-10}{\frac{0.5}{10}})$
$G(10.15)=0.85$

c)

Jetzt ist der umgekehrte weg gefragt $G({\mu }_1=10.15,n)=0.95$
$0.95=1-\Phi (1.96-\frac{10.15-10}{\frac{0.5}{\sqrt{n}}})+\Phi (-1.96-\frac{10.15-10}{\frac{0.5}{\sqrt{n}}})$
Der letzte Term wird mit 0 geschätzt, weil die Wahrscheinlichkeit für -1.96-irgendwas sehr klein ist! Daher: $0.05={\Phi }^{-1}(1.96-0.3\ast \sqrt{n})\Rightarrow n>145$ --Moritz.f 21:06, 4. Jun. 2009 (CEST)

Lösungsvorschlag von ParanoidAndroid

Beispiel 116 - Lösung deckt sich mit der von Moritz.f, die graphische Darstellung der Gütefunktion ist eventuell noch interessant.

Gütefunktion

$G(\mu )$

so hat das irgendwie ausgesehen. wurde vom prof. skizziert. erklären kann ich's nichtmehr, aber der florian vielleicht falls er sich erbarmt, der hat das beispiel heut gerechnet :)
-Thomarsch 16:43, 9. Jun. 2009 (CEST)