TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 57

In einem Büro arbeiten vier Sekretärinnen, die 40%, 10%, 30% und 20% der Unterlagen wegordnen. Die Wahrscheinlichkeiten, dass hierbei Fehler auftreten sind 0.01, 0.04, 0.06 und 0.1.

• a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fehler gemacht wird?
• b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine falsch geordnete Unterlage von der dritten Sekretärin abgelegt wurde?

Lösungsvorschlag von samuel

wir haben:

• $S_i$ Unterlage von Sekretärin i abgelegt.
• $F_i$ Fehler durch Sekretärin i.

Angabe:

• $P(S_1)=0.4$
• $P(S_2)=0.1$
• $P(S_3)=0.3$
• $P(S_4)=0.2$
• $P(F_1|S_1)=0.01$
• $P(F_2|S_2)=0.04$
• $P(F_3|S_3)=0.06$
• $P(F_4|S_4)=0.1$

a)

$P(F)=P(F_1)+P(F_2)+P(F_3)+P(F_4)$ $=P(S_1)P(F_1|S_1)+P(S_2)P(F_2|S_2)+P(S_3)P(F_3|S_3)+P(S_4)P(F_4|S_4)$ $=0.40\cdot 0.01+0.10\cdot 0.04+0.06\cdot 0.30+0.20\cdot 0.1=0.046$

b)

$P(F_3|F)=\frac{P(F_3\cap F)}{P(F)}=\frac{P(F_3)}{P(F)}$ $=\frac{P(S_3)P(F_3|S_3)}{P(F)}$ $=\frac{0.30\cdot 0.06}{0.046}=0.391$

Lösungsvorschlag von Florian

a)

$P(A)=P(S_1)\cdot P(F_1)+P(S_2)\cdot P(F_2)+P(S_3)\cdot P(F_3)+P(S_4)\cdot P(F_4)$ $=0.40\cdot 0.01+0.10\cdot 0.04+0.06\cdot 0.30+0.20\cdot 0.1=0.046=4.6\mathrm{\%}$

b)

$P(B)=\frac{P(S_3)\cdot P(F_3)}{P(A)}=\frac{0.30\cdot 0.06}{0.046}=0.391=39.1\mathrm{\%}$