TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 94

Angabe

Die zufällige Variable $(X,Y)$ habe die Dichtefunktion

$f(x,y)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}(1+xy(x^2-y^2))& -1\le x\le y\le 1\\ 0& \text{sonst}\end{array}$

Bestimmen Sie die Dichtefunktion der Randverteilung von X und Y.

Lösungsvorschlag von Thomas

Dichtefunktionen der Randverteilung bei Stetigkeit für X:

$f_X(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy$

analog für Y

habs nach dem beispiel im buch gelöst:

$f_X(x)={\int }_x^1\frac{1}{2}(1+xy(x^2-y^2))dy=-\frac{x^5}{8}+\frac{x^3}{4}-\frac{5x}{8}+\frac{1}{2}$

$f_Y(y)={\int }_{-1}^y\frac{1}{2}(1+xy(x^2-y^2))dx=\frac{y}{2}-\frac{y^5}{8}$

Anmerkungen

bei den integralen hat mir WolframAlpha geholfen

• integral_x^1 1/2 (1+x y (x^2-y^2)) dy
• integral_-1^y 1/2 (1+x y (x^2-y^2)) dx

Lösungsvorschlag von bigschnozer

Formeln für Dichtefunktionen der Randverteilung:

Wir wissen die Dichtefunktionen der Randverteilung $f_X$und $f_Y$können wie folgt bestimmt werden:

$f_X(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy$

$f_Y(y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dx$

Da $-1<=x,y<=1$ können wir unsere Grenzen entsprechend einsetzen (Skriptum S.68):

$f_X(x)={\int }_x^{1}f(x,y)dy$

$f_Y(y)={\int }_{-1}^{y}f(x,y)dx$

Unbestimmte Integrale:

Wir bestimmen allgemein das Integral nach $dx$ und $dy$:

$\int f(x,y)dy=\int \frac{1}{2}(1+x^{3}y-x{y}^3)dy=\frac{1}{2}(y+\frac{x^3{y}^2}{2}-\frac{x{y}^4}{4})$

$\int f(x,y)dx=\int \frac{1}{2}(1+x^{3}y-x{y}^3)dx=\frac{1}{2}(x+\frac{x^{4}y}{4}-\frac{x^2{y}^3}{2})$

Dichtefunktionen (bestimmte Integrale):

Wir bestimmen $f_X$ indem wir das bestimmte Integral ${\int }_x^1$nach $dy$ lösen:

$f_X(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy={\int }_x^{1}f(x,y)dy={\int }_x^1\frac{1}{2}[1+xy(x^2-y^2)]dy$

$f_X(x)=\frac{1}{2}{\int }_x^{1}1+x^{3}y-x{y}^{3}dy=\frac{1}{2}(1-\frac{5x}{4}+\frac{x^3}{2}-\frac{x^5}{4})=\frac{1}{8}(4-5x+2x^3-x^5)$

Wir bestimmen $f_Y$ indem wir das bestimmte Integral ${\int }_{-1}^y$ nach $dx$ lösen:

$f_Y(y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dx={\int }_{-1}^{y}f(x,y)dx={\int }_{-1}^y\frac{1}{2}[1+xy(x^2-y^2)]dx=\frac{1}{2}{\int }_{-1}^{y}1+x^{3}y-x{y}^{3}dx$

$f_Y(y)=\frac{1}{2}(1-\frac{y^5}{4}+\frac{y^3}{2}+\frac{3y}{4})=\frac{1}{8}(-y^5+2y^3+3y+4)$