TU Wien Nav:Mathematik für Informatik (Buch)/7.36

Man bestimme die allgemeine Lösung für $u(x,y)$ der inhomogenen eindimensionalen Wellengleichung $9u_{xx}-{1 \over 4}u_{yy}=sin(x)$.

Lösung

D'Almbert

$9u_{xx}-{1 \over 4}u_{yy}=sin(x)$
Wir formen um auf: $u_{xx}-{1 \over 36}u_{yy}={sin(x) \over 9}$
Die eindimensionale Wellengleichung hat die Form: $\!\ u_{tt}-c^{2}*u_{xx}=f(x,t)$
Daraus folgt für uns $c\in \mathbb {R} ,c^{2}={1 \over 36},c={1 \over 6}$
Setzen wir also nach D'Almbert an:
$\xi =y+cx=y+{1 \over 6}x$
$\eta =y-{1 \over 6}x$
$\xi _{x}=c={1 \over 6}$
$\eta _{x}=-c=-{1 \over 6}$
$\!\ \xi _{y}=1$
$\!\ \eta _{y}=1$

Weiters erhalten wir durch addition bzw. subtraktion von $\xi$ und $\eta$:
$x={\xi -\eta \over 2c}=3(\xi -\eta )=3\xi -3\eta$
$y={\xi -\eta \over 2}$
Weiters definieren wir:
$U(\xi ,\eta )=u(3\xi -3\eta ,{\xi -\eta \over 2})=u(x,y)$

Wir wissen ja nun dass $u(x,y)=U(\xi ,\eta )$ also können wir auch entsprechend U nach x und y ableiten:
$\!\ u_{x}=U_{\xi }*\xi _{x}+U_{\eta }*\eta _{x}$
$u_{xx}=U_{\xi \xi }*{\xi _{x}}^{2}+U_{\eta \xi }*\eta _{x}\xi _{x}+U_{\xi \eta }*\xi _{x}\eta _{x}+U_{\eta \eta }*{\eta _{x}}^{2}$

$\!\ u_{y}=U_{\xi }*\xi _{y}+U_{\eta }*\eta _{y}$
$u_{yy}=U_{\xi \xi }*{\xi _{y}}^{2}+U_{\eta \xi }*\eta _{y}\xi _{y}+U_{\xi \eta }*\xi _{y}\eta _{y}+U_{\eta \eta }*{\eta _{y}}^{2}$
Einsetzen Setzen wir nun also alles was wir haben in unsere Gleichung aus der Angabe ein:
$U_{\xi \xi }{1 \over 36}-U_{\eta \xi }{1 \over 36}x-U_{\xi \eta }{1 \over 36}+U_{\eta \eta }{1 \over 36}-{1 \over 36}(U_{\xi \xi }+U_{\eta \xi }+U_{\xi \eta }+U_{\eta \eta })={sin(3\xi -3\eta ) \over 9}$
Wie wir wissen besteht folgender Zusammenhang: $\!\ f_{xy}=f_{yx}$
Woraus und in anbetracht der wegfallenden Terme, weiters folgt:
$-{4 \over 36}U_{\xi \eta }={sin(3\xi -3\eta ) \over 9}$
$\!\ U_{\xi \eta }=-sin(3\xi -3\eta )$
Integration Integrieren wir nun den Ausdruck nach $\xi$ und $\eta$:
$\!\ \int \int U_{\xi \eta }d\xi d\eta =-\int \int sin(3\xi -3\eta )d\xi d\eta$
$\!\ \int U_{\eta }d\eta ={1 \over 3}\int cos(3\xi -3\eta )d\eta +G(\eta )$
$\!\ U=-{1 \over 9}sin(3\xi -3\eta )+G(\eta )+H(\xi )$
Und finally:
$\!\ u=-{1 \over 9}sin(x)+G(y-{1 \over 6}x)+H(y+{1 \over 6}x)$
mit G und H als beliebige differenzierbare Funktionen in einer Variablen.