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Man zeige, dass eine Menge <math>O \subseteq \R^2</math> bzgl. der Euklidischen Metrik <math>d_2</math> offen ist genau dann, wenn <math>O</math> offen ist bzgl. der Summen-Metrik <math>d_1</math>. | Man zeige, dass eine Menge <math>O \subseteq \R^2</math> bzgl. der Euklidischen Metrik <math>d_2</math> offen ist genau dann, wenn <math>O</math> offen ist bzgl. der Summen-Metrik <math>d_1</math>. | ||
}} | }} | ||
{{ | |||
== Hilfreiches == | |||
{{Baustein:Offene Menge}} | |||
===== Euklidische Distanzen ===== | |||
<math>d_1((x_1, x_2), (y_1, y_2)) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|</math> | |||
<math>d_2((x_1, x_2), (y_1, y_2)) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2}</math> | |||
== Lösungsvorschlag von [[Benutzer:Derpizzabäcker|DerPizzabäcker]] == | |||
Zuerst einmal schreiben wir die Angabe nochmal als Formel auf: | |||
<math>x \in O \implies \exists U_e(x) \subseteq O \iff x \in O \implies \exists U_d(x) \subseteq O</math> wobei <math>U_e</math> von d2 abhängt und <math>U_d</math> von d1. | |||
Die Aussage <math>\exists U_e(x)</math> kann man auch als <math>\exists y \in O, e > 0: d_2(x, y) < e</math> anschreiben. (Also es existiert ein y in einer epsilon Umgebung). Wenn wir nun zeigen, dass <math>\exists y \in O, e > 0: d_2(x, y) < e</math> und <math>\exists y \in O, d > 0: d_1(x, y) < d</math> äquivalent sind, so sind auch die ursprünglichen Formeln äquivalent. Dazu formen wir beide Ausdrücke so um, dass sie ähnlich ausschauen: | |||
<math> | |||
d_2(x, y) < e \iff | |||
\sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2} < e \iff | |||
(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 < e^2 | |||
</math> | |||
<math> | |||
d_1(x, y) < d \iff | |||
|x_1 - y_1| + |x_2 - y_2| < d \iff | |||
(x_1 - y_1)^2 + 2*|x_1 - y_1|*|x_2 - y_2| + (x_2 - y_2)^2 < d^2 \iff | |||
(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 < d^2 - 2*|x_1 - y_1|*|x_2 - y_2| | |||
</math> | |||
Hier sieht man, dass die beiden Aussagen auf der linken Seite ident sind, aber auf der rechten etwas unterschiedlich. Wenn wir nun <math>e^2 = d^2 - 2*|x_1 - y_1|*|x_2 - y_2|</math> wählen sind sie ident. | |||
--[[Benutzer:Derpizzabäcker|DerPizzabäcker]] 09:01, 12. Jun. 2019 (CEST) |
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