TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS13/Beispiel 587

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Für die Vektoren x = (1,2,3), y = (3,-1,2) und z = (2,2,1) berechne man

(a) die Längen von x, y und z,

(b) den Winkel \varphi zwischen x und y,

(c) das Volumen des von x, y und z aufgespannten Parallelepipeds.

Lösung(svorschlag)[Bearbeiten]

von --Sk4g3n (Diskussion) 10:45, 14. Apr. 2013 (CEST)

(a)[Bearbeiten]

\Vert x \Vert = \sqrt{\langle x,x\rangle} = \sqrt{1^{2} + 2^2 +3^2} = \sqrt{14}

\Vert y \Vert = \sqrt{\langle y,y\rangle} = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{14}

\Vert z \Vert = \sqrt{\langle z,z\rangle} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1} = 3

(b)[Bearbeiten]

\cos \varphi = \frac{\langle x,y\rangle}{\Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert} = \frac{1\cdot3+2\cdot(-1)+3\cdot2}{14} = \frac{1}{2}

\Rightarrow \varphi = \frac{\pi}{3} = 60^\circ

(c)[Bearbeiten]

Das Volumen des von den Spalten einer Matrix A \in \mathbb{R}^{n \times n} aufgespannten Parallelpipeds ist gleich dem Betrag der Determinate von A.

A = \begin{pmatrix} x^T & y^T & z^T\end{pmatrix}

V = |\det A| = |1\cdot(-1)\cdot1 + 3\cdot2\cdot3 + 2\cdot2\cdot2 - 2\cdot(-1)\cdot3 - 3\cdot2\cdot1 - 1\cdot2\cdot2| = 21