TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 114

Aus VoWi
< TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)‎ | Übungen SS19
Version vom 7. März 2019, 17:44 Uhr von Gittenborg (Diskussion | Beiträge) (Gittenborg verschob die Seite TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS18/Beispiel 114 nach TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 114 und überschrieb dabei eine Weiterleitung: versch…)
(Unterschied) ← Nächstältere Version | Aktuelle Version (Unterschied) | Nächstjüngere Version → (Unterschied)
Wechseln zu: Navigation, Suche

Sei f:A\rightarrow B. Man zeige, daß durch x\equiv y\Leftrightarrow f(x)=f(y) eine Äquivalenzrelation \equiv auf der Menge A definiert wird.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Äquivalenzrelation[Bearbeiten]

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Äquivalenzrelation, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

Reflexivität: \forall a\, \in A: aRa,

Symmetrie: \forall a,b\, \in A: aRb \Rightarrow bRa,

Transitivität: \forall a,b,c\, \in A: (aRb \wedge bRc) \Rightarrow aRc.

Reflexivität[Bearbeiten, WP, 1.55 Definition]

\forall a\in M:\quad aRa

Symmetrie[Bearbeiten, WP, 1.55 Definition]

\forall a,b \in M: aRb \Rightarrow bRa

Transitivität[Bearbeiten, WP, 1.55 Definition]

\forall a,b,c\in M:\quad a\circ b\wedge b\circ c\Rightarrow a\circ c

Lösung von Baccus[Bearbeiten]

Für eine Äquivalenzrelation muß gelten: (R)eflexiv, (S)ymmetrisch, (T)ransitiv:

(R): x\equiv x\Leftrightarrow f(x)=f(x)

(S): x\equiv y\Rightarrow y\equiv x: f(x)=f(y)\Leftrightarrow f(y)=f(x)

(T): x\equiv y\wedge y\equiv z\Rightarrow x\equiv z: f(x)=f(y)\wedge f(y)=f(z)\Rightarrow f(x)=f(z)

QED

--Baccus

Links[Bearbeiten]

Ähnliche Beispiele: