TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 132

Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Relationen <amsmath> R \subseteq A \times B</amsmath> um Funktionen, injektive Funktionen, surjektive Funktionen bzw. bijektive Funktionen handelt.

<amsmath>R = \{ (\log_2 x, x) \ | \ x \in \mathbb{R}_{+} \}, A = B = \mathbb{R}</amsmath>

Hilfreiches

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WARNUNG: Siehe http://informatik-forum.at/showthread.php?p=266291 --Mnemetz 22:35, 22. Nov 2005 (CET)

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Eine andere Schreibweise für <amsmath>a R b</amsmath> ist definitionsgemäß <amsmath>f(a) = b</amsmath>. In diesem Fall bedeutet das:

<amsmath> \begin{array}{rcl} f(\log_2 x) & = & x \\ \Rightarrow f(x) & = & 2^x \end{array} </amsmath>

Injektivität: Eine Abbildung <amsmath>f: A \rightarrow B</amsmath> heißt injektiv dann, wenn für alle <amsmath>b \in B</amsmath> höchstens ein <amsmath>a \in A</amsmath> existiert, sodaß <amsmath>f(a) = b</amsmath>.

Angenommen, <amsmath>f(x_1) = f(x_2) = x</amsmath>, wobei <amsmath> x_1 \neq x_2, \ x_1, x_2 \in \mathbb{R}_{+}</amsmath>:

<amsmath> \begin{array}{rcll} f(x_1) & = & f(x_2) \\ 2^{x_1} & = & 2^{x_2} & \quad | \ \log_2 \\ \log_2 2^{x_1} & = & \log_2 2^{x_2} \\ x_1 & = & x_2 \end{array} </amsmath>

Es ergibt sich ein Widerspruch zur Annahme - daher muß f injektiv sein.

Surjektivität: Eine Abbildung heißt surjektiv, wenn für alle <amsmath>b \in B</amsmath> mindestens ein <amsmath>a \in A</amsmath> existiert, sodaß <amsmath>f(a) = b</amsmath>.

Diese Eigenschaft ist hier erfüllt, da der Ausdruck <amsmath>2^x</amsmath> für alle <amsmath>x \in \mathbb{R}_{+}</amsmath> definiert ist. Die Abbildung ist daher surjektiv.

Ist eine Abbildung injektiv und surjektiv, so ist sie bijektiv.