TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 137

Seien <amsmath>f: A \rightarrow B</amsmath> und <amsmath>g: B \rightarrow C</amsmath> surjektive Abbildungen. Man zeige, daß dann auch <amsmath>h = g \circ f: A \rightarrow C</amsmath> surjektiv ist. (<amsmath>(g \circ f)(x) = g(f(x))</amsmath>)

Hilfreiches

Anmerkung: <amsmath> \circ </amsmath> steht für eine Verkettung. --Mnemetz 16:55, 21. Nov 2005 (CET)

Eine Abbildung <amsmath>f: A \rightarrow B</amsmath> ist surjektiv, wenn für alle <amsmath>b \in B</amsmath> mindestens ein <amsmath>a \in A</amsmath> existiert, sodaß <amsmath>f(a) = b</amsmath>.

Wir müssen daher nun zeigen, daß bei der Hintereinanderausführung <amsmath>g \circ f: A \rightarrow C</amsmath>für alle <amsmath>c \in C</amsmath> mindestens ein <amsmath>a \in A</amsmath> existiert, sodaß <amsmath>f(a) = c</amsmath>:

<amsmath> (g \circ f)(a) = g(f(a)) = c \qquad \exists \ a \in A \quad \forall c \in C </amsmath>

Da die Abbildung g surjektiv ist, gibt es ein <amsmath>b \in B</amsmath> für alle <amsmath>c \in C</amsmath>, sodaß:

<amsmath> g(\underbrace{f(a)}_{= b}) = g(b) = c </amsmath>

Da auch f surjektiv ist, gibt es auch tatsächlich ein <amsmath>a \in A</amsmath> für alle <amsmath>b \in B</amsmath> mit:

<amsmath> f(a) = b </amsmath>

Daraus folgt, daß es ein <amsmath>a \in A</amsmath> für alle <amsmath>c \in C</amsmath> gibt, für die

<amsmath>g(f(a)) = c</amsmath>

gilt. Das bedeutet, daß die Hintereinanderausführung <amsmath>g \circ f</amsmath> der surjektiven Abbildungen g und f selbst auch surjektiv sein muß.