TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 140

Zu den nachstehenden Abbildungen $f$ bzw. $g$ auf der Menge {0,1,...,9} bestimme man jeweils den zugehörigen Graphen und untersuche die angegebene Zuordnung auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität:

(a) $f(x)=x^{2}$ mod 10

(b) $g(x)=x^{3}$ mod 10

$x$	$x^{2}$	$x^{2}$ mod 10 ($=f(x)$)
0	0	0
1	1	1
2	4	4
3	9	9
4	16	6
5	25	5
6	36	6
7	49	9
8	64	4
9	81	1

Man sieht, daß in der letzten Spalte Werte mehrfach vorkommen (d.h. $f()$ ist nicht injektiv) [Def: "ein Element der Definitionsmenge wird auf maximal ein Element der Zielmenge abgebildet"].

Man sieht auch, daß in der letzten Spalte manche Werte aus der Grundmenge {0,1,...,9} überhaupt nicht vorkommen (d.h. $f()$ ist nicht surjektiv) [Def: "jedes Element der Definitionsmenge wird auf mindestens ein Element der Zielmenge abgebildet"].

Und bijektiv... darüber brauchen wir schon garnicht diskutieren :).

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$x$	$x^{3}$	$x^{3}$ mod 10 ($=g(x)$)
0	0	0
1	1	1
2	8	8
3	27	7
4	64	4
5	125	5
6	216	6
7	343	3
8	512	2
9	729	9

Man sieht, daß kein Wert in der letzten Spalte mehrfach vorkommt (d.h. $g()$ ist injektiv) [Def: "jedes Element der Definitionsmenge wird auf maximal ein Element der Zielmenge abgebildet"].

Man sieht auch, daß in der letzten Spalte alle Werte aus der Grundmenge {0,1,...,9} vorkommen (d.h. $g$ ist surjektiv) [Def: "jedes Element der Definitionsmenge wird auf mindestens ein Element der Zielmenge abgebildet"].

Injektiv + surjektiv: Daher ist $g$ auch bijektiv.

Wenn jetzt noch jemand die zugehörigen Graphen malen würde, wäre das Beispiel komplett :).

--Baccus 05:27, 26. Nov 2006 (CET)

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siehe auch: Beispiel_125