TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 140

Zu den nachstehenden Abbildungen <amsmath>f</amsmath> bzw. <amsmath>g</amsmath> auf der Menge {0,1,...,9} bestimme man jeweils den zugehörigen Graphen und untersuche die angegebene Zuordnung auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität:

(a) <amsmath>f(x) = x^2</amsmath> mod 10

(b) <amsmath>g(x) = x^3</amsmath> mod 10

Lösung

<amsmath>x</amsmath>	<amsmath>x^2</amsmath>	<amsmath>x^2</amsmath> mod 10 (<amsmath>=f(x)</amsmath>)
0	0	0
1	1	1
2	4	4
3	9	9
4	16	6
5	25	5
6	36	6
7	49	9
8	64	4
9	81	1

Man sieht, daß in der letzten Spalte Werte mehrfach vorkommen (d.h. <amsmath>f()</amsmath> ist nicht injektiv) [Def: "ein Element der Definitionsmenge wird auf maximal ein Element der Zielmenge abgebildet"].

Man sieht auch, daß in der letzten Spalte manche Werte aus der Grundmenge {0,1,...,9} überhaupt nicht vorkommen (d.h. <amsmath>f()</amsmath> ist nicht surjektiv) [Def: "jedes Element der Definitionsmenge wird auf mindestens ein Element der Zielmenge abgebildet"].

Und bijektiv... darüber brauchen wir schon garnicht diskutieren :).

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<amsmath>x</amsmath>	<amsmath>x^3</amsmath>	<amsmath>x^3</amsmath> mod 10 (<amsmath>=g(x)</amsmath>)
0	0	0
1	1	1
2	8	8
3	27	7
4	64	4
5	125	5
6	216	6
7	343	3
8	512	2
9	729	9

Man sieht, daß kein Wert in der letzten Spalte mehrfach vorkommt (d.h. <amsmath>g()</amsmath> ist injektiv) [Def: "jedes Element der Definitionsmenge wird auf maximal ein Element der Zielmenge abgebildet"].

Man sieht auch, daß in der letzten Spalte alle Werte aus der Grundmenge {0,1,...,9} vorkommen (d.h. <amsmath>g</amsmath> ist surjektiv) [Def: "jedes Element der Definitionsmenge wird auf mindestens ein Element der Zielmenge abgebildet"].

Injektiv + surjektiv: Daher ist <amsmath>g</amsmath> auch bijektiv.

Wenn jetzt noch jemand die zugehörigen Graphen malen würde, wäre das Beispiel komplett :).

--Baccus 05:27, 26. Nov 2006 (CET)

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Graph

<amsmath>x^2</amsmath>

f(x)y 
  ^
9 |     x       x
8 |
7 |
6 |       x   x
5 |         x
4 |   x           x
3 | 
2 |
1 | x               x
  ---------------------> x
    1 2 3 4 5 6 7 8 9

<amsmath>x^3</amsmath>

f(x)y 
  ^
9 |                 x     
8 |  x             
7 |     x          
6 |           x    
5 |         x      
4 |       x        
3 |             x  
2 |               x
1 | x 
  ---------------------> x
    1 2 3 4 5 6 7 8 9

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siehe auch: Beispiel 125