TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 140

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Zu den nachstehenden Abbildungen f bzw. g auf der Menge {0,1,...,9} bestimme man jeweils den zugehörigen Graphen und untersuche die angegebene Zuordnung auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität:

(a) f(x) = x^2 mod 10

(b) g(x) = x^3 mod 10

Achtung: Dieses Beispiel war im WS07 noch Beispiel 117, ab WS08 ist es Beispiel 119.

Hilfreiches:

Injektivität
Injektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": a_{1}, a_{2}  \in  A, a_{1} \neq a_{2} \Rightarrow f(a_{1}) \neq f(a_{2}) oder äquivalent: a_{1}, a_{2}  \in  A, f(a_{1}) = f(a_{2}) \Rightarrow a_{1} = a_{2}

Surjektivität
Surjektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf: \forall b\in B\ \exists a\in A: b=f(a)

Bijektivität
Bijektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion  f^{-1}().

Lösung

x x^2 x^2 \mod 10 (=f(x))
0 0 0
1 1 1
2 4 4
3 9 9
4 16 6
5 25 5
6 36 6
7 49 9
8 64 4
9 81 1

Man sieht, daß in der letzten Spalte Werte mehrfach vorkommen (d.h. f() ist nicht injektiv).

Man sieht auch, daß in der letzten Spalte manche Werte aus der Grundmenge {0,1,...,9} überhaupt nicht vorkommen (d.h. f() ist nicht surjektiv).

Und bijektiv... darüber brauchen wir schon garnicht diskutieren :).


x x^3 x^3 \mod 10 (=g(x))
0 0 0
1 1 1
2 8 8
3 27 7
4 64 4
5 125 5
6 216 6
7 343 3
8 512 2
9 729 9

Man sieht, daß kein Wert in der letzten Spalte mehrfach vorkommt (d.h. g() ist injektiv).

Man sieht auch, daß in der letzten Spalte alle Werte aus der Grundmenge {0,1,...,9} vorkommen (d.h. g ist surjektiv).

Injektiv + surjektiv: Daher ist g auch bijektiv.

Graph

x^2

f(x)y 
  ^
9 |     x       x
8 |
7 |
6 |       x   x
5 |         x
4 |   x           x
3 | 
2 |
1 | x               x
  ---------------------> x
    1 2 3 4 5 6 7 8 9

x^3

g(x)y 
  ^
9 |                 x     
8 |  x             
7 |     x          
6 |           x    
5 |         x      
4 |       x        
3 |             x  
2 |               x
1 | x 
  ---------------------> x
    1 2 3 4 5 6 7 8 9

siehe auch: Beispiel 125