TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 143: Unterschied zwischen den Versionen

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(Surjektion)
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Die Funktion ist somit surjektiv.
 
Die Funktion ist somit surjektiv.
 
 
 
'''FRAGE''': Ist sie wirklich surjektiv?? <math> - \sqrt{- y} </math> ist doch kein Element der reellen Zahlen?? Wäre das nicht <math> - \sqrt{y * i^2} = - \sqrt{y} * i </math>    ??
 
  
 
=== Bijektion ===
 
=== Bijektion ===

Aktuelle Version vom 14. August 2019, 07:50 Uhr

Man zeige, dass die Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, y = x \cdot | x | bijektiv ist und bestimme ihre Umkehrfunktion.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Injektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet":

a_{1}, a_{2}  \in  A, a_{1} \neq a_{2} \Rightarrow f(a_{1}) \neq f(a_{2})

oder äquivalent:

a_{1}, a_{2}  \in  A, f(a_{1}) = f(a_{2}) \Rightarrow a_{1} = a_{2}

Surjektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf:

\forall b\in B\ \exists a\in A: b=f(a)

Bijektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt.

Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion  f^{-1}(). Baustein:Umkehrfunktion

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Damit die Funktion bijektiv ist, muss sie injektiv und surjektiv sein. Bevor wir jedoch anfangen, ist es einfacher, wenn man sich die Funktion anders definiert:

f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, y = \begin{cases}
x^2&\text{für } x \ge 0\\
-x^2&\text{sonst}
\end{cases}

Injektion[Bearbeiten]

Die Funktion bildet keine zwei unterschiedlichen Werte auf das gleiche Bild ab, sie ist injektiv. Das ergibt sich, da die Wurzelfunktion selbst bijektiv und somit auch surjektiv ist.

Surjektion[Bearbeiten]

Hier betrachten wir den Fall, ob jeder Wert y auf mindestens ein x in \mathbb{R} zurückgeführt werden kann. Oder ausgedrückt mit Hilfe der Prädikatenlogik: \forall y \in \mathbb{R}, \exists x \in \mathbb{R}: y = f(x). Es muss also möglich sein, jede reelle Zahl zu erzeugen.

Hier müssen wir wieder zwei Fälle für die Funktion unterscheiden:

  • y \ge 0: y = x \cdot | x | = x^2 \Rightarrow x = \sqrt{y}
    • Hier wird nur das positive Ergebnis von \sqrt{y} verwendet, da gemäß Definition der Funktion nur ein positives x zu einem positiven y werden kann.
  • y < 0: y = x \cdot | x | = - x^2 \Rightarrow x = - \sqrt{- y}
    • Hier wird nur das negative Ergebnis von \sqrt{-y} verwendet, da gemäß Definition der Funktion nur ein negatives x zu einem negativen y werden kann.

Die Funktion ist somit surjektiv.

Bijektion[Bearbeiten]

Durch die gegebene Injektivität und Surjektivität folgt auch die Bijektivität.

Umkehrfunktion[Bearbeiten]

Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, nimmt man die Lösung, die man beim Prüfen der Surjektion gefunden hat und vertauscht x und y:

f^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, y = \begin{cases}
\sqrt{x}&\text{für } x \ge 0\\
-\sqrt{-x}&\text{sonst}
\end{cases}

-- Superwayne (Diskussion) 00:19, 10. Nov. 2014 (CET)