TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 143: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Funktion ist somit surjektiv.
 
Die Funktion ist somit surjektiv.
 
 
 
'''FRAGE''': Ist sie wirklich surjektiv?? <math> - \sqrt{- y} </math> ist doch kein Element der reellen Zahlen?? Wäre das nicht <math> - \sqrt{y * i^2} = - \sqrt{y} * i </math>    ??
 
  
 
=== Bijektion ===
 
=== Bijektion ===

Version vom 14. August 2019, 06:50 Uhr

Man zeige, dass die Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, y = x \cdot | x | bijektiv ist und bestimme ihre Umkehrfunktion.

Hilfreiches

Baustein:Injektivität Baustein:Surjektivität Baustein:Bijektivität Baustein:Umkehrfunktion

Lösungsvorschlag

Damit die Funktion bijektiv ist, muss sie injektiv und surjektiv sein. Bevor wir jedoch anfangen, ist es einfacher, wenn man sich die Funktion anders definiert:

f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, y = \begin{cases}
x^2&\text{für } x \ge 0\\
-x^2&\text{sonst}
\end{cases}

Injektion

Die Funktion bildet keine zwei unterschiedlichen Werte auf das gleiche Bild ab, sie ist injektiv. Das ergibt sich, da die Wurzelfunktion selbst bijektiv und somit auch surjektiv ist.

Surjektion

Hier betrachten wir den Fall, ob jeder Wert y auf mindestens ein x in \mathbb{R} zurückgeführt werden kann. Oder ausgedrückt mit Hilfe der Prädikatenlogik: \forall y \in \mathbb{R}, \exists x \in \mathbb{R}: y = f(x). Es muss also möglich sein, jede reelle Zahl zu erzeugen.

Hier müssen wir wieder zwei Fälle für die Funktion unterscheiden:

  • y \ge 0: y = x \cdot | x | = x^2 \Rightarrow x = \sqrt{y}
    • Hier wird nur das positive Ergebnis von \sqrt{y} verwendet, da gemäß Definition der Funktion nur ein positives x zu einem positiven y werden kann.
  • y < 0: y = x \cdot | x | = - x^2 \Rightarrow x = - \sqrt{- y}
    • Hier wird nur das negative Ergebnis von \sqrt{-y} verwendet, da gemäß Definition der Funktion nur ein negatives x zu einem negativen y werden kann.

Die Funktion ist somit surjektiv.

Bijektion

Durch die gegebene Injektivität und Surjektivität folgt auch die Bijektivität.

Umkehrfunktion

Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, nimmt man die Lösung, die man beim Prüfen der Surjektion gefunden hat und vertauscht x und y:

f^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, y = \begin{cases}
\sqrt{x}&\text{für } x \ge 0\\
-\sqrt{-x}&\text{sonst}
\end{cases}

-- Superwayne (Diskussion) 00:19, 10. Nov. 2014 (CET)