TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 15: Unterschied zwischen den Versionen

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<math> x_{n + 1} = (3n + 1)^2 + 18n + 15 = 9n^2 + 24n + 16 = (3n + 4)^2 = (3 (n + 1) + 1)^2 </math>
 
<math> x_{n + 1} = (3n + 1)^2 + 18n + 15 = 9n^2 + 24n + 16 = (3n + 4)^2 = (3 (n + 1) + 1)^2 </math>
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Version vom 19. April 2019, 14:38 Uhr

Man zeige mittels vollständiger Induktion, dass für die rekursiv definierte Folge  x_0 = 1 und  x_{k + 1} = x_k + 18k + 15 für  k \geq 0 allgemein gilt:

 x_n = (3n + 1)^2, für alle  n \geq 0 .

Lösungsvorschlag von frunobulax

Induktionsanfang

 n = 0: x_0 = (3 \cdot 0 + 1)^2 = 1

Induktionsvorraussetzung

ist somit  x_n = (3n + 1)^2

Induktionsschritt

 x_{n + 1} = x_n + 18n + 15

Wir setzten die Vorrausseztung ein...

 x_{n + 1} = (3n + 1)^2 + 18n + 15 = 9n^2 + 24n + 16 = (3n + 4)^2 = (3 (n + 1) + 1)^2