TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 16: Unterschied zwischen den Versionen

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'''Induktionsanfang:'''
 
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Sei <math>n:=1;x_{0}:=1</math>
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Wir sehen uns das 1-te Glied der Folge an, wobei der Startwert <math>x_{0}=1</math> aus der Angabe vorgegeben ist.
  
Wir sehen uns das 1-te Glied der Folge an, wobei der Startwert <math>x_{0}=1</math> aus der Angabe vorgegeben ist.
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\begin{align}
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n&:=1\\
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x_{0}&:=1\\
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x_{k+1}&=ax_{k}+b\\
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x_{n}&=a^{n}+b*\frac{a^{n}-1}{a-1}\\
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Somit:
  
 
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\begin{align}
 
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A(n):x_{0+n}=a*x_{0+n}+b&=a^{n}+b*\frac{a^{n}-1}{a-1}\\
 
A(1):x_{0+1}=a*x_{0}+b&=a^{1}+b*\frac{a^{1}-1}{a-1}\\
 
A(1):x_{0+1}=a*x_{0}+b&=a^{1}+b*\frac{a^{1}-1}{a-1}\\
 
a*1+b & = a+b*\frac{a-1}{a-1}\\
 
a*1+b & = a+b*\frac{a-1}{a-1}\\

Version vom 24. März 2019, 12:31 Uhr

Lösungsvorschlag von Az0r Az0r

--Az0r 11:17, 24. Mär. 2019 (CET)

Man zeige mittels vollständiger Induktion, dass für die rekursiv definierte Folge x_{0}=1 und x_{k+1}=ax_{k}+b für k\geq0 (wobei a,b \in \mathbb{R},a\neq1)allgemein gilt:

x_{n}=a^{n}+b*\frac{a^{n}-1}{a-1}, für alle n\geq0.

Lösung von Az0r

Induktionsanfang:

Wir sehen uns das 1-te Glied der Folge an, wobei der Startwert x_{0}=1 aus der Angabe vorgegeben ist.


\begin{align}
n&:=1\\
x_{0}&:=1\\
x_{k+1}&=ax_{k}+b\\
x_{n}&=a^{n}+b*\frac{a^{n}-1}{a-1}\\
\end{align}

Somit:


\begin{align}
A(n):x_{0+n}=a*x_{0+n}+b&=a^{n}+b*\frac{a^{n}-1}{a-1}\\
A(1):x_{0+1}=a*x_{0}+b&=a^{1}+b*\frac{a^{1}-1}{a-1}\\
a*1+b & = a+b*\frac{a-1}{a-1}\\
a+b & = a+b\\
\end{align}