TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 16: Unterschied zwischen den Versionen

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Man zeige mittels vollständiger Induktion, dass für die rekursiv definierte Folge <math>x_{0}=1</math> und <math>x_{k+1}=ax_{k}+b</math> für <math>k\geq0</math> (wobei <math>a,b \in \mathbb{R},a\neq1</math>) allgemein gilt:
 
Man zeige mittels vollständiger Induktion, dass für die rekursiv definierte Folge <math>x_{0}=1</math> und <math>x_{k+1}=ax_{k}+b</math> für <math>k\geq0</math> (wobei <math>a,b \in \mathbb{R},a\neq1</math>) allgemein gilt:
  

Version vom 24. März 2019, 14:57 Uhr

Man zeige mittels vollständiger Induktion, dass für die rekursiv definierte Folge x_{0}=1 und x_{k+1}=ax_{k}+b für k\geq0 (wobei a,b \in \mathbb{R},a\neq1) allgemein gilt:

x_{n}=a^{n}+b*\frac{a^{n}-1}{a-1}, für alle n\geq0.

Lösungsvorschlag von Az0r Az0r

--Az0r 11:17, 24. Mär. 2019 (CET)

Induktionsanfang:

Wir sehen uns das 2-te Glied der Folge an, wobei der Startwert (erstes Glied) x_{0}=1 aus der Angabe vorgegeben ist.


\begin{align}
n&:=1\\
x_{0}&:=1\\
x_{k+1}&=ax_{k}+b\\
x_{n}&=a^{n}+b*\frac{a^{n}-1}{a-1}\\
\end{align}

Somit:


\begin{align}
A(n):x_{n+1}=a*x_{n}+b&=a^{n}+b*\frac{a^{n}-1}{a-1}\\
A(1):x_{0+1}=a*x_{0}+b&=a^{1}+b*\frac{a^{1}-1}{a-1}\\
a*1+b & = a+b*\frac{a-1}{a-1}\\
a+b & = a+b\\
\end{align}

Induktionsannahme:


\forall n\in\mathbb{N},\forall (a,b,x)\in\mathbb{R},a\neq 1,x\geq 0 |A(n):x_{n}=a^{n}+b*\frac{a^{n}-1}{a-1}

Induktionsbehauptung:


A(n+1):x_{0+n+1}=a^{n+1}+b*\frac{a^{n+1}-1}{a-1}

Induktionsschluss:


\begin{align}
A(n+1):x_{n+1}=a*x_{n}+b&=a^{n+1}+b*\frac{a^{n+1}-1}{a-1}\\
x_{n}&=a^{n}+b*\frac{a^{n}-1}{a-1}\\
\end{align}

Somit:


\begin{align}
A(n+1):x_{n+1}=a*(a^{n}+b*\frac{a^{n}-1}{a-1})+b&=a^{n+1}+b*\frac{a^{n+1}-1}{a-1}\\
(a^{n+1}+a*b*\frac{a^{n}-1}{a-1})+b&=a^{n+1}+b*\frac{a^{n+1}-1}{a-1}\\
a^{n+1}+\frac{a*b*(a^{n}-1)+b*(a-1)}{a-1}&=a^{n+1}+b*\frac{a^{n+1}-1}{a-1}\\
a^{n+1}+b*\frac{a*(a^{n}-1)+(a-1)}{a-1}&=a^{n+1}+b*\frac{a^{n+1}-1}{a-1}\\
a^{n+1}+b*\frac{a^{n+1}-a+a-1}{a-1}&=a^{n+1}+b*\frac{a^{n+1}-1}{a-1}\\
a^{n+1}+b*\frac{a^{n+1}-1}{a-1}&=a^{n+1}+b*\frac{a^{n+1}-1}{a-1}\\
\end{align}

\square.

Az0r 12:23, 24. Mär. 2019 (CET)