TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 16

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Man zeige mittels vollständiger Induktion, dass für die rekursiv definierte Folge x_{0}=1 und x_{k+1}=ax_{k}+b für k\geq0 (wobei a,b \in \mathbb{R},a\neq1)allgemein gilt:

x_{n}=a^{n}+b*\frac{a^{n}-1}{a-1}, für alle n\geq0.

== Lösungsvorschlag von Az0r ==

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Induktionsanfang

Sei n:=1;x_{0}:=1

Wir sehen uns das 1-te Glied der Folge an, wobei der Startwert x_{0}=1 aus der Angabe vorgegeben ist.


\begin{align}
A(1):x_{0+1}=a*x_{0}+b&=a^{1}+b*\frac{a^{1}-1}{a-1}\\
a*1+b & = a+b*\frac{a-1}{a-1}\\
a+b & = a+b\\
\end{align}