TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 165

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Man bestimme die Anzahl der möglichen 6 aus 45-Lottotips und die Anzahl der möglichen richtigen Vierer (d. h., die Anzahl derjenigen 6-elementigen Teilmengen von {1, 2, . . . , 45}, die mit einer vorgegebenen 6-elementigen Teilmenge genau 4 Elemente gemeinsam haben).

Anzahl der Lottotips:  C_n^k = C_{45}^6 = \begin{pmatrix} 45 \\ 6 \end{pmatrix}

Ergänzung von Aeroflare[edit]

Nachdem wir die Anzahl der Tips haben müssen wir noch die 4er Tips rausfinden. Vier Zahlen müssen aus den sechs richtigen Zahlen sein... die restlichen zwei kommen natürlich aus dem nicht gezogenem Pool. Also \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 39 \\ 2 \end{pmatrix} = 11115

Ich bin der Meinung das die Lösung falsch ist

für je 4 Zahlen habe ich genau eine Möglichkeit wie sie sein sollen = 1 * 1 * 1 * 1 = 1

für die anderen zwei Zahlen habe ich je 39 Möglichkeiten (damit sie falsch sind 45 - 6) = 39 * 39

= 1 * 1 * 1 * 1 * 39 * 39

dieses Ergebnis ist nun noch zu Permudieren, da die Reihenfolge nicht relevant ist

(1 * 1 * 1 * 1 * 39 * 39) * \frac{6!}{4! * 2!} = 22815

mfg BOERK

Da es sich beim Lotto um Ziehen ohne Zurücklegen handelt, hat Aeroflare recht. Siehe Wikipedia.

Außerdem: du hast für die 4 richtigen nicht nur eine möglichkeit wie sie sein sollen, da es ja insgesamt 6 richtige gibt aus denen nur 4 in deiner menge enthalten sein sollen.

Ergänzung von Foonz[edit]

Meiner Meinung nach muss es \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 39 \\ 1 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} 38 \\ 1 \end{pmatrix} = (1 * 1 * 1 * 1 * 39* 38) * \frac{6!}{4! * 2!} = 22230 sein.

mfg foonz

Ergänzung von MatheFreak[edit]

Meiner Meinung nach ist die Lösung von Aeroflare schon die richtige! Der Ansatz von Boerk/ Foonz sind von der Idee her schon richtig, nur sie vermachlässigen die Tatsache, dass die beiden "falschen" Kugeln keiner Reihenfolge unterworfen sind.
D.h., die Möglichkeiten 2 Kugeln aus 39 zu ziehen ist {39 \choose 2} = \frac{39 \cdot 38 }2

Ergänzung von Peter1058[edit]

Meiner Meinung nach ist Aeroflare richtig! Ich hab´ 4 Kugeln die mit 4 von den 6 richtigen übereinstimmen also 6 über 4 - Passt! 2 von meinen 6 gewählten sind jedoch falsch, heißt sie wurden aus einem Kugelhaufen gezogen, wo die 6 richtigen nicht enthalten sind: 45 - 6 richtige Kugeln = 39 und *trommelwirbel* tada: wir haben 2 Kugeln aus 39 möglichen = 39 über 2 :-)

Lösungsvorschlage von Me.Name[edit]

Ja alle möglichen Fälle von 6 aus 45. Das ist ja das ganz gewöhnliche n über k (Kombination ohne Wiederhohlung):  {\tbinom n k} =  \frac{n!}{k! * (n-k)!} = \frac{45!}{6! * (45-6)!} = 8 145 060

Die 2te Frage verstehe ich so, dass man rausfinden soll wieviele 4er es beim Lotto gibt. Hab mal diese Formel auf Wiki gefunden(link siehe unten):

Die Treffer-Wahrscheinlichkeit beim Lotto lässt sich über die hypergeometrische Verteilung ermitteln durch P_r = \dfrac {{\tbinom 6 r}{\tbinom {N-6} {6-r}}} {{\tbinom {N} 6}}, r \in \{0, \ldots , 6\}:

Von dieser Formel brauchen wir aber nur den oberen Teil. {{\tbinom 6 r}{\tbinom {N-6} {6-r}}} (r ist hierbei unser k) und das ist dann so viel wie: \frac{6!}{k! * (6-k)!} * \frac{(45-6)!}{(6-k)! * (39-(6-k))!} = \frac{6!}{4! * (6-4)!} *\frac{(45-6)!}{(6-4)! * (39-(6-4))!} = \frac{6!}{4! * 2!} * \frac{39!}{2! * 37!} = 11115

Wenn man jetzt alle 3er haben will muss man halt für jedes k 3 einsetzten, für die 5er, 2er und 1er gilt das natürlich auch.

6 aus 49 (N=49) 6 aus 45 (N=45)
H 49,6,6 H 45,6,6
r Anzahl Wahrscheinlichkeit (P) in % r Anzahl Wahrscheinlichkeit (P) in %
0 6.096.454  43,596 0 3.262.623  40,056
1 5.775.588  41,302 1 3.454.542  42,413
2 1.851.150  13,238 2 1.233.765  15,147
3 246.820   1,7650 3 182.780   2,2441
4 13.545   0,096862 4 11.115   0,13646
5 258   0,0018450 5 234   0,0028729
6 1   0,0000071511 6 1   0,000012277
13.983.816 100 8.145.060 100
Erwartungswert 0,735 Erwartungswert 0,800
Streuung 0,578 Streuung 0,615

Hier noch der Link für weitere Infos: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Lotto&oldid=85181854

Wie üblich beim Lotto: alle Angabe ohne gewähr.

Links zu weiteren Lösungen zum selben Beispiel[edit]

TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 160