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TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 17

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a_n sei die größte Anzahl von Teilen, in die die Ebene duch n Geraden zerlegt werden kann.

Zeigen Sie durch vollständige Induktion: a_n=1+\frac{n(n+1)}{2}


Inhaltsverzeichnis

HilfreichesBearbeiten

Vollständige Induktion[Bearbeiten, WP]
  1. Induktionsanfang (IA)
  2. Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV)   Induktionsbehauptung (IB)

Lösungsvorschlag von samuelpBearbeiten

Induktionsanfang  Bearbeiten

Wenn keine Gerade verwendet wird, ist die Ebene ein Teil. Auch die Formel liefert  .

Induktionsschritt  Bearbeiten

Induktionshypothese: mit   Geraden kann die Ebene in   Teile zerschnitten werden

Induktionsbehauptung: mit   Geraden kann die Ebene in   Teile zerschnitten werden

Aufgrund der   kann die Ebene in   Teile zerschnitten werden. Wir legen eine neue Gerade sodass:

  • die neue Gerade ist zu keiner der   Geraden parallel
  • die neue Gerade geht durch keine der bisherigen Schnittpunkte. Dadurch entstehen   neue Schnittpunkte.

Die   neuen Schnittpunkte zerschneiden   Gebiete und es entstehen dadurch   neue.

 

Dadurch ist gezeigt, dass die Formel von   auch wahr ist.

Erklärungen der einzelnen Umformungen

  1. Herausheben von   aus den Termen   und   zu