TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 17

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sei die größte Anzahl von Teilen, in die die Ebene duch Geraden zerlegt werden kann.

Zeigen Sie durch vollständige Induktion:


Hilfreiches

Baustein:Vollständige Induktion

Lösungsvorschlag von samuelp

Induktionsanfang

Wenn keine Gerade verwendet wird, ist die Ebene ein Teil. Auch die Formel liefert .

Induktionsschritt

Induktionshypothese: mit Geraden kann die Ebene in Teile zerschnitten werden

Induktionsbehauptung: mit Geraden kann die Ebene in Teile zerschnitten werden

Aufgrund der kann die Ebene in Teile zerschnitten werden. Wir legen eine neue Gerade sodass:

  • die neue Gerade ist zu keiner der Geraden parallel
  • die neue Gerade geht durch keine der bisherigen Schnittpunkte. Dadurch entstehen neue Schnittpunkte.

Die neuen Schnittpunkte zerschneiden Gebiete und es entstehen dadurch neue.

Dadurch ist gezeigt, dass die Formel von auch wahr ist.

Erklärungen der einzelnen Umformungen

  1. Herausheben von aus den Termen und zu