TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 18

Man untersuche mittels vollständiger Induktion, für welche die angegebene Ungleichung gilt:

LösungsvorschlagEdit

Als ersten Schritt untersuchen wir die Gleichung durch Einsetzen für n:

 n = 1	    (8)     richtig
 n = 2	   (64)    falsch
 n = 3	  (512)   richtig
 n = 4	  (4096)  richtig

Dies ergibt die Vermutung, daß die Gleichung für alle   gilt, da   stärker wächst als n³.

Der Induktionsanfang für n = 3 ist bereits bewiesen.

Die Induktionsvoraussetzung, daß die Gleichung für alle   gilt.

Die Induktionsbehauptung:  

Induktionsschluß: ACHTUNG: hier sind offensichtlich Fehler! siehe Diskussionsseite

    | Term * 8
        	      |  / 9
      
    	 | -n³
   	       | Ersetzen n durch höchste Potenz
   

und 6n² sind bei n >= 3immer kleiner als 7n³

Hapi

Lösungsvorschlag von TonicoEdit

IV: P(n) sei die Aussage
8n ≥ 9n3 - 3, für alle n ≥ 3.

IA: Die Aussage P(3), 83 = 512 ≥ 9·33 - 3 = 240, ist wahr.

IS: Aus P(n) folgt P(n + 1) ist gleichbedeutend mit
8·8n = 8n+1 ≥ 8·(9n3 - 3) ≥ 9(n + 1)3 - 3.

Daraus folgt, dass für alle n ≥ 3 P(n) wahr ist.

Lösung in der Übung akzeptiertEdit

Ungleichung:  

Erste analyse: Mittels einsetzen erhält man: Die Ungleichung gilt für n = 1, und alle n größer oder gleich 3.

Vereinfachung: Auf der linken Seite 3 addieren. Man vergrößert die Zahl, von der man annimmt, dass sie kleiner ist. Die Ungleichung   gilt immernoch für die angenommen  .

Induktion: Es muss sowohl u(n), als auch u(n+1) gelten. Um eine einfache Endungleichung zu erhalten dividiert man   und erhält:

   | Man kürzt links durch  , rechts durch  
   | Man zieht die 3. Wurzel
   | Und den Kehrwert:
  

Die Endungleichung ist natürlich für alle n größer oder gleich 3 gültig. Es gilt:

Wenn die durch x beschriebene Menge die angenommene Menge x größer-gleich 3 ist:  

Wieviel das mit Induktion zu tun hat, und ob das auch wirklich anwendbar ist, weiß ich nicht.

Link zu früheren LösungenEdit

TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 44