TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 211

Man bestimme die allgemeine Lösung der Differenzengleichung

$x_{n+1} = \frac{x_n}{1 + x_n}, \qquad n = 0,1,2, \dots$

mit $x_0 \ne -1, -1/2, - 1/3, \dots$.

(Hinweis: Man benütze die Transformation $x_n = 1/y_n$.)

Hilfreiches

Lineare Differenzengleichung erste Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Lineare Differenzengleichung erste Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Für die lineare Differenzengleichung erster Ordnung

$x_{n+1} = ax_n + b$, $n=0,1,2,\dots$

gilt, wenn $a$ und $b$ konstant sind,

$x_n = a^nx_0 + (1 + a + \dots + a^{n-1})b = \begin{cases} a^nx_0 + b \frac{a^n-1}{a-1} & \text{ für } a \neq 1\\ x_0 + bn & \text{ für } a = 1 \end{cases}$.

Lösungsvorschlag

Transformation ($x_n = \frac{1}{y_n}$ und $x_{n+1} = \frac{1}{y_{n+1}}$ einsetzen:

$\begin{align} x_{n+1} &= \frac{x_n}{1 + x_n} \\ \frac{1}{y_{n+1}} &= \frac{\frac{1}{y_n}}{1 + \frac{1}{y_n}} \\ y_{n+1} &= \frac{1 + \frac{1}{y_n}}{\frac{1}{y_n}} \\ y_{n+1} &= y_n + 1 \end{align}$

Nun kann man in die Formel mit $a=1$ und $b=1$ einsetzen und rücktransformieren:

$\begin{align} y_n &= y_0 + 1 \cdot n \\ \frac{1}{x_n} &= \frac{1}{x_0} + n \\ x_n &= \frac{1}{\frac{1}{x_0} + n} \\ x_n &= \frac{x_0}{1 + n \cdot x_0} \end{align}$

Lösungsvorschlag von mnemetz (basierend auf Lösung aus 2004 unten)

Ich habe meinen Lösungsvorschlag (basierend auf Lösung aus 2004 unten) mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt. --Markus Nemetz 09:49, 9. Jun 2006 (CEST)

Lösung aus Karigl 2004

• PDF aus Karigl 2004 --Markus Nemetz 17:48, 18. Mai 2006 (CEST)

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 78

Links

• Diskussion zum dem Bsp. --Markus Nemetz 09:50, 9. Jun 2006 (CEST)
• Diskussion zum dem Bsp.