Difference between revisions of "TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 22"

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'''Induktionshypothese''': <math>\sum_{k=1}^n a_k b_k = a_n \sum_{k=1}^n b_k- \sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\sum_{j=1}^k b_j</math>
 
'''Induktionshypothese''': <math>\sum_{k=1}^n a_k b_k = a_n \sum_{k=1}^n b_k- \sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\sum_{j=1}^k b_j</math>
  
'''zu zeigen''': <math>\sum_{k=1}^{n+1} a_k b_k = a_{n+1} \sum_{k=1}^{n+1} b_k- \sum_{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_k)\sum_{j=1}^k b_j</math>
+
'''Induktionsbehauptung''': <math>\sum_{k=1}^{n+1} a_k b_k = a_{n+1} \sum_{k=1}^{n+1} b_k- \sum_{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_k)\sum_{j=1}^k b_j</math>
  
 
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&=\sum_{k=1}^{n} a_k b_k + a_{n+1}b_{n+1}\\
 
&=\sum_{k=1}^{n} a_k b_k + a_{n+1}b_{n+1}\\
 
&\overset{I.H.}{=}a_n \sum_{k=1}^n b_k- \sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\sum_{j=1}^k b_j + a_{n+1}b_{n+1}\\
 
&\overset{I.H.}{=}a_n \sum_{k=1}^n b_k- \sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\sum_{j=1}^k b_j + a_{n+1}b_{n+1}\\
&\overset{\pm a_{n+1} \sum_{k=1}^{n} b_k}{=}a_n \sum_{k=1}^n b_k- \sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\sum_{j=1}^k b_j + a_{n+1}b_{n+1}\\
+
&\overset{\pm X}{=}a_n \sum_{k=1}^n b_k- \sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\sum_{j=1}^k b_j + a_{n+1}b_{n+1}+a_{n+1} \sum_{k=1}^{n} b_k-a_{n+1} \sum_{k=1}^{n} b_k\\
 +
&\overset{1.}{=}a_{n+1}b_{n+1}+a_{n+1} \sum_{k=1}^{n} b_k-\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\sum_{j=1}^k b_j + (a_n-a_{n+1}) \sum_{k=1}^{n} b_k\\
 +
&\overset{2.}{=}a_{n+1} \sum_{k=1}^{n+1} b_k-\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\sum_{j=1}^k b_j + (a_n-a_{n+1}) \sum_{k=1}^{n} b_k\\
 +
&\overset{3.}{=}a_{n+1} \sum_{k=1}^{n+1} b_k-\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\sum_{j=1}^k b_j - (a_{n+1}-a_n) \sum_{k=1}^{n} b_k\\
 +
&\overset{4.}{=}a_{n+1} \sum_{k=1}^{n+1} b_k-\sum_{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_k)\sum_{j=1}^k b_j\\
 
\end{align}
 
\end{align}
 
</math>
 
</math>
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Die letzte Zeile entspricht der rechten Seite. Dadurch haben wir die Induktionsbehauptung gezeigt.
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Erklärungen der einzelnen Umformungen
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# Herausheben von <math>\sum_{k=1}^{n} b_k</math> aus den Termen <math>a_{n+1} \sum_{k=1}^{n} b_k</math> und <math>a_n \sum_{k=1}^{n} b_k</math> (erster und letzer Term)
 +
# Zusammenfassen von <math>a_{n+1}b_{n+1}+a_{n+1} \sum_{k=1}^{n}b_k</math> zu <math>a_{n+1} \sum_{k=1}^{n+1}b_k</math>
 +
# Umdrehen der Differenz: <math> + (a_n-a_{n+1}) \rightarrow - (a_{n+1}-a_n)</math>
 +
# Zusammenfassen von <math>-\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\sum_{j=1}^k b_j - (a_{n+1}-a_n) \sum_{k=1}^{n} b_k</math> zu <math>-\sum_{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_k)\sum_{j=1}^k b_j</math>

Revision as of 15:24, 19 April 2019

Man zeige für alle :

Hilfreiches

Baustein:Vollständige Induktion

Leere Summe ist immer

Lösungsvorschlag von samuelp

Induktionsanfang

Linke Seite:

Rechte Seite:

Induktionsschritt

Induktionshypothese:

Induktionsbehauptung:

Linke Seite:

Die letzte Zeile entspricht der rechten Seite. Dadurch haben wir die Induktionsbehauptung gezeigt.

Erklärungen der einzelnen Umformungen

  1. Herausheben von aus den Termen und (erster und letzer Term)
  2. Zusammenfassen von zu
  3. Umdrehen der Differenz:
  4. Zusammenfassen von zu