TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 22

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Man zeige für alle n\in \mathbb{N}\setminus\{0\}: \sum_{k=1}^n a_k b_k = a_n \sum_{k=1}^n b_k- \sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\sum_{j=1}^k b_j

Hilfreiches

Baustein:Vollständige Induktion

Leere Summe (\sum_{k=1}^0 ...) ist immer 0

Lösungsvorschlag von samuelp

Induktionsanfang n=0

Linke Seite: a_1\sum_{k=1}^1 b_k = a_1 b_1

Rechte Seite: a_1 \sum_{k=1}^1 b_k - \sum_{k=1}^{0}(a_{k+1}-a_k)\sum_{j=1}^k b_j= a_1 b_1 - 0

Induktionsschritt n \rightarrow n+1

Induktionshypothese: \sum_{k=1}^n a_k b_k = a_n \sum_{k=1}^n b_k- \sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\sum_{j=1}^k b_j

zu zeigen: \sum_{k=1}^{n+1} a_k b_k = a_{n+1} \sum_{k=1}^{n+1} b_k- \sum_{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_k)\sum_{j=1}^k b_j

Linke Seite:


\begin{align}
\sum_{k=1}^{n+1} a_k b_k
&=\sum_{k=1}^{n} a_k b_k + a_{n+1}b_{n+1}\\
&\overset{I.H.}{=}a_n \sum_{k=1}^n b_k- \sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\sum_{j=1}^k b_j + a_{n+1}b_{n+1}\\
&\overset{\pm a_{n+1} \sum_{k=1}^{n} b_k}{=}a_n \sum_{k=1}^n b_k- \sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\sum_{j=1}^k b_j + a_{n+1}b_{n+1}\\
\end{align}