Difference between revisions of "TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 221"

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Daher ergibt sich als Lösung <math>x_n = C_1 \lambda_1^n + C_2 \lambda_2^n = (-1)^n C_1 + (-2)^n C_2</math>
 
Daher ergibt sich als Lösung <math>x_n = C_1 \lambda_1^n + C_2 \lambda_2^n = (-1)^n C_1 + (-2)^n C_2</math>
  
([http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+x%28n%2B2%29+%2B+3x%28n%2B1%29+%2B+2x%28n%29+%3D+0 Lösung mit Hilfe von Wolfram Alpha])
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=== Gleichung (b) ===
 
=== Gleichung (b) ===
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<math>x_n = C_1 (3 + 4i)^n + C_2 (3 - 4i)^n</math>
 
<math>x_n = C_1 (3 + 4i)^n + C_2 (3 - 4i)^n</math>
  
([http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+x%28n%2B2%29+-+6x%28n%2B1%29+%2B+25x%28n%29+%3D+0 Lösung mit Hilfe von Wolfram Alpha])
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([https://web.archive.org/web/20180730213751/http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+x%28n%2B2%29+-+6x%28n%2B1%29+%2B+25x%28n%29+%3D+0 Lösung mit Hilfe von Wolfram Alpha])
  
 
=== Gleichung (c) ===
 
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<math>x_n = (C_1 + n C_2) (- 5.5)^n</math>
 
<math>x_n = (C_1 + n C_2) (- 5.5)^n</math>
  
([http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+x%28n%2B2%29+%2B+11x%28n%2B1%29+%2B+30.25x%28n%29+%3D+0 Lösung mit Hilfe von Wolfram Alpha])
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Revision as of 23:37, 30 July 2018

Gesucht sind die allgemeinen Lösungen der linearen homogenen Differenzengleichungen

(a) x_{n+2} + 3x_{n+1} + 2x_n = 0,

(b) Fehler beim Parsen (Lexikalischer Fehler): x_{n+2} − 6x_{n+1} + 25x_n = 0 ,

(c) x_{n+2} + 11x_{n+1} + 30.25x_n = 0

Lösungsvorschlag von Berti

Gleichung (a)

\lambda^2 + 3 \lambda + 2 = 0

\lambda_{1/2} = -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} - 2} = -\frac{3}{2} \pm \frac{1}{2} \Rightarrow \lambda_1 = -1, \lambda_2 = -2

Daher ergibt sich als Lösung x_n = C_1 \lambda_1^n + C_2 \lambda_2^n = (-1)^n C_1 + (-2)^n C_2

(Lösung mit Hilfe von Wolfram Alpha)

Gleichung (b)

\lambda^2 - 6 \lambda + 25 = 0

\lambda_{1/2} = 3 \pm \sqrt{9 - 25} = 3 \pm 4 i \Rightarrow \lambda_1 = 3 + 4i, \lambda_2 = 3 - 4i

Nach dem das Ergebnis sich nicht "schön" (Vielfaches von \pi, rationale oder ganze Zahl) darstellen lässt, belasse ich es bei der Darstellung in Form von kartesischen Koordinaten:

x_n = C_1 (3 + 4i)^n + C_2 (3 - 4i)^n

(Lösung mit Hilfe von Wolfram Alpha)

Gleichung (c)

\lambda^2 + 11 \lambda + 30.25 = 0

\lambda_{1/2} = - \frac{11}{2} \pm \sqrt{\frac{11^2}{4} - 30.25} = - \frac{11}{2}

x_n = (C_1 + n C_2) (- 5.5)^n

(Lösung mit Hilfe von Wolfram Alpha)

-- Berti933 (Diskussion) 22:42, 20. Jan. 2015 (CET)