TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 230

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Lösen Sie die Rekursion mit der Ansatzmethode:

a_n = 2a_{n-1} + 2^{n-1} \qquad n \geq 1, a_0 = 1

Lösung[edit]

Zuerst stellen wir eine Gleichung für die homogene Lösung auf, dann für die partikuläre Lösung. Anschließend werden beide Gleichungen addiert und C berechnet.

Homogene Lösung[edit]

a_n^{(h)} = C \cdot \Pi^{n-1}_{i = 0} 2 = 2^{n - 1} \cdot C

Partikuläre Lösung[edit]

Nachdem 2^{n - 1} Teil der homogenen Lösung ist, müssen wir den Ansatz A \cdot 2^{n - 1} noch mit n multiplizieren:

a_n^{(p)} = A \cdot n \cdot 2^{n - 1}

Diesen Ansatz setzen wir nun in die ursprüngliche Gleichung ein und lösen für A:

A \cdot n \cdot 2^{n - 1} = 2 \cdot A \cdot (n - 1) \cdot 2^{n - 2} + 2^{n - 1}

A \cdot n = A \cdot (n - 1) + 1

A \cdot n = A \cdot n - A + 1

A = 1

a_n^{(p)} = n \cdot 2^{n - 1}

Unsere allgemeine Lösung ist daher: a_n = n \cdot 2^{n - 1} + 2^{n - 1} \cdot C

Jetzt müssen wir noch C finden:

a_n = n \cdot 2^{n - 1} + 2^{n - 1} \cdot C

1 = 2^{-1} \cdot C

C = 2

Die Lösung lautet daher: a_n = n \cdot 2^{n - 1} + 2^n = 2^{n - 1} \cdot (n + 2)

(Lösung mit Hilfe von Wolfram Alpha)

Quelle[edit]

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 90