Difference between revisions of "TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 238"

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{{Beispiel|1=
Lösen Sie die Rekursion mit der Ansatzmethode:  
Lösen Sie die Rekursion mit der Ansatzmethode:  


<math> a_n - a_\text{n-1} + a_\text{n-2} = cos(n \pi/3) </math>
<math> a_n - a_\text{n-1} + a_\text{n-2} = cos(n \pi/3) \qquad n \geq 2, a_0 = 1, a_1 = 0</math>
</div>
}}
 


==Lösungsvorschlag==
==Lösungsvorschlag==


===Homogene Lösung===
===Homogene Lösung===
Line 21: Line 19:
<math> R = \sqrt{RE^2 + IM^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2</math>
<math> R = \sqrt{RE^2 + IM^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2</math>


<math>x_{n}^{(h)} = R^n(C_1 cos(n\varphi) + C_2 sin(n\varphi)  = 2^n(c_1 cos(\frac{n\pi}{3}) + C_2 sin(\frac{n\pi}{3}) </math>
<math>x_{n}^{(h)} = R^n(C_1 cos(n\varphi) + C_2 sin(n\varphi)  = 2^n(C_1 cos(\frac{n\pi}{3}) + C_2 sin(\frac{n\pi}{3}) </math>


===partikuläre Lösung ===
===partikuläre Lösung ===
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Einsetzen in die inhomogene Gleichung:
Einsetzen in die inhomogene Gleichung:


<math> A n cos(\frac{n\pi}{3}) + B n sin(\frac{n\pi}{3}) + A(n-1)cos(\frac{(n-1)\pi}{3} + B(n-1)sin(\frac{(n-1)\pi}{3}) + A(n-2)cos(\frac{(n-2)\pi}{3}) + B (n-2) sin(\frac{(n-2)\pi}{3} </math>
<math> A n cos(\frac{n\pi}{3}) + B n sin(\frac{n\pi}{3}) + A(n-1)cos(\frac{(n-1)\pi}{3} + B(n-1)sin(\frac{(n-1)\pi}{3}) + A(n-2)cos(\frac{(n-2)\pi}{3}) + B (n-2) sin(\frac{(n-2)\pi}{3}) </math>


Einsetzmethode: ohne Beschränkung der Allgemeinheit:
Einsetzmethode: ohne Beschränkung der Allgemeinheit:
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<math> => B = \frac 1 2 </math>
<math> => B = \frac 1 2 </math>


<math> => A = \frac 1 {2\sqrt3}</math>
<math> => A = \frac{1}{2\sqrt{3}}</math>


=== Allgemeine Lösung ===
=== Allgemeine Lösung ===


<math> a_n = a_n^{(h)} + a_n^{(p)} = cos( \frac{n\pi} 3 )* (D_1 + \frac 1 2 ) + sin (\frac {n\pi} 3 ) (D_2 +  \frac 1 {2sqrt3}) </math>
<math> a_n = a_n^{(h)} + a_n^{(p)} = cos( \frac{n\pi} 3 )* (D_1 + \frac 1 2 ) + sin (\frac {n\pi} 3 ) (D_2 +  \frac{1}{2 \sqrt{3}}) </math>


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[[Kategorie:Materialien]]
[[Kategorie:Materialien]]

Latest revision as of 16:06, 24 May 2020

Lösen Sie die Rekursion mit der Ansatzmethode:

Lösungsvorschlag[edit]

Homogene Lösung[edit]

Daraus folgt mit der kleinen Lösungsformel und :

partikuläre Lösung[edit]

Einsetzen in die inhomogene Gleichung:

Einsetzmethode: ohne Beschränkung der Allgemeinheit:

Allgemeine Lösung[edit]