TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 238

Lösen Sie die Rekursion mit der Ansatzmethode:

$a_{n}-a_{\text{n-1}}+a_{\text{n-2}}=cos(n\pi /3)$

Lösungsvorschlag

Homogene Lösung

$\lambda ^{2}+\lambda +1=0$

Daraus folgt mit der kleinen Lösungsformel $p=-1$ und $q=1$:

$\lambda _{\text{1,2}}={\frac {-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}={\frac {1\pm {\sqrt {1-4}}}{2}}={\frac {1}{2}}\pm i*{\frac {\sqrt {3}}{2}}$

$tan(\varphi )={\frac {IM}{RE}}={\frac {\sqrt {3}}{1}}=>\varphi =arctan({\sqrt {3}})={\frac {\pi }{3}}$

$R={\sqrt {RE^{2}+IM^{2}}}={\sqrt {1+3}}={\sqrt {4}}=2$

$x_{n}^{(h)}=R^{n}(C_{1}cos(n\varphi )+C_{2}sin(n\varphi )=2^{n}(C_{1}cos({\frac {n\pi }{3}})+C_{2}sin({\frac {n\pi }{3}})$

partikuläre Lösung

$s_{n}=cos({\frac {n\pi }{3}})$

$x_{n}^{(p)}=Acos({\frac {n\pi }{3}})+Bsin({\frac {n\pi }{3}})$

Einsetzen in die inhomogene Gleichung:

$Ancos({\frac {n\pi }{3}})+Bnsin({\frac {n\pi }{3}})+A(n-1)cos({\frac {(n-1)\pi }{3}}+B(n-1)sin({\frac {(n-1)\pi }{3}})+A(n-2)cos({\frac {(n-2)\pi }{3}})+B(n-2)sin({\frac {(n-2)\pi }{3}}$

Einsetzmethode: ohne Beschränkung der Allgemeinheit:

$n=3:3Acos({\frac {3\pi }{3}})+3Bsin({\frac {3\pi }{3}})+2Acos({\frac {2\pi }{3}}+2Bsin({\frac {2\pi }{3}})+Acos({\frac {\pi }{3}})+Bsin({\frac {\pi }{3}}=-3B-{\sqrt {3}}A+B+{\frac {\sqrt {3}}{2}}A-{\frac {1}{2}}B)$

$n=2:2Acos({\frac {2\pi }{3}})+2Bsin({\frac {2\pi }{3}})+Acos({\frac {\pi }{3}}+Bsin({\frac {\pi }{3}})+0*Acos({\frac {0*\pi }{3}})+0*Bsin({\frac {0*\pi }{3}}={\sqrt {3}}A-B+{\sqrt {3}}A-{\frac {1}{2}}B)$

$=>B={\frac {1}{2}}$

$=>A={\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}$

Allgemeine Lösung

$a_{n}=a_{n}^{(h)}+a_{n}^{(p)}=cos({\frac {n\pi }{3}})*(D_{1}+{\frac {1}{2}})+sin({\frac {n\pi }{3}})(D_{2}+{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}})$