TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 238

Lösen Sie die Rekursion mit der Ansatzmethode:

$a_n - a_\text{n-1} + a_\text{n-2} = cos(n \pi/3)$

Lösungsvorschlag

Homogene Lösung

$\lambda^2 + \lambda + 1 = 0$

Daraus folgt mit der kleinen Lösungsformel $p = -1$ und $q = 1$:

$\lambda_\text{1,2} = \frac {-p \pm \sqrt{p^2-4q}} {2} = \frac {1 \pm \sqrt{1-4}} {2} = \frac {1}{2} \pm i*\frac{\sqrt{3}}{2}$

$tan(\varphi) = \frac{IM}{RE} = \frac{\sqrt{3}}{1} => \varphi = arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$

$R = \sqrt{RE^2 + IM^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

$x_{n}^{(h)} = R^n(C_1 cos(n\varphi) + C_2 sin(n\varphi) = 2^n(C_1 cos(\frac{n\pi}{3}) + C_2 sin(\frac{n\pi}{3})$

partikuläre Lösung

$s_n = cos(\frac{n\pi}{3})$

$x_n^{(p)} = A cos(\frac{n\pi}{3}) + B sin(\frac{n\pi}{3})$

Einsetzen in die inhomogene Gleichung:

$A n cos(\frac{n\pi}{3}) + B n sin(\frac{n\pi}{3}) + A(n-1)cos(\frac{(n-1)\pi}{3} + B(n-1)sin(\frac{(n-1)\pi}{3}) + A(n-2)cos(\frac{(n-2)\pi}{3}) + B (n-2) sin(\frac{(n-2)\pi}{3}$

Einsetzmethode: ohne Beschränkung der Allgemeinheit:

$n=3: 3 A cos(\frac{3\pi}{3}) + 3 B sin(\frac{3\pi}{3}) + 2 A cos(\frac{2\pi}{3} + 2 B sin(\frac{2\pi}{3}) + A cos(\frac{\pi}{3}) + B sin(\frac{\pi}{3} = -3B - \sqrt{3}A + B + \frac{\sqrt{3}}{2} A - \frac 1 2 B )$

$n=2: 2 A cos(\frac{2\pi}{3}) + 2 B sin(\frac{2\pi}{3}) + A cos(\frac{\pi}{3} + B sin(\frac{\pi}{3}) + 0*A cos(\frac{0*\pi}{3}) + 0*B sin(\frac{0*\pi}{3} = \sqrt{3}A - B + \sqrt{3} A - \frac 1 2 B)$

$=> B = \frac 1 2$

$=> A = \frac{1}{2\sqrt{3}}$

Allgemeine Lösung

$a_n = a_n^{(h)} + a_n^{(p)} = cos( \frac{n\pi} 3 )* (D_1 + \frac 1 2 ) + sin (\frac {n\pi} 3 ) (D_2 + \frac{1}{2 \sqrt{3}})$