Difference between revisions of "TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 25"

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Indirekter Beweis
 
Indirekter Beweis
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== Lösungsvorschlag von samuelp ==
 
== Lösungsvorschlag von samuelp ==
  
'''Angenommen''', <math> \sqrt{3}</math> ist eine rationale Zahl. Dann ist es möglich <math> \sqrt{3}</math> als Bruch darzustellen: <math>\sqrt{3}={a\over b}</math> mit natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>. Wir setzen voraus, dass der Bruch <math>{a\over b}</math> soweit wie möglich gekürzt ist.
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'''Angenommen''': <math> \sqrt{3}</math> ist eine rationale Zahl. Dann ist es möglich <math>\sqrt{3}</math> als Bruch darzustellen: <math>\sqrt{3}={a\over b}</math> mit natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>. Weil es für jede rationale Zahl einen Burch gibt, der soweit wie möglich gekürzt ist, muss das auch für <math>\sqrt{3}</math> gelten. Wir nehmen an <math>{a\over b}</math> ist dieser Bruch und somit maximal gekürzt.
  
 
Wir versuchen einen auf einen Widerspruch zu stoßen. Dazu formen wir um:
 
Wir versuchen einen auf einen Widerspruch zu stoßen. Dazu formen wir um:
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Aus der letzten Gleichung geht hervor, dass <math>a^2</math> durch 3 teilbar ist. Weil 3 eine Primzahl ist, muss auch <math>a</math> durch 3 teilbar sein (siehe Erlärung unten), setzen wir <math>r</math> sodass <math>a=3r</math>.
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Aus der letzten Gleichung geht hervor, dass <math>a^2</math> durch 3 teilbar ist. Weil 3 eine Primzahl ist, muss auch <math>a</math> durch 3 teilbar sein (siehe Erlärung oben), setzen wir <math>r</math> sodass <math>a=3r</math>.
  
 
Weitere Umformung:
 
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Jetzt erkennen wir einen Widerspruch zu unserer Annahme, dass der Bruch <math>{a\over b}</math> soweit wie möglich gekürzt ist, da sowohl <math>a</math> als auch <math>b</math> durch 3 teilbar sind.
 
Jetzt erkennen wir einen Widerspruch zu unserer Annahme, dass der Bruch <math>{a\over b}</math> soweit wie möglich gekürzt ist, da sowohl <math>a</math> als auch <math>b</math> durch 3 teilbar sind.
 
=== wenn <math>a^2</math> druch eine Primzahl <math>p</math> teilbar ist, dann auch <math>a</math> ===
 
 
Es ist etwas Erklärung notwendig, um dieses Statement zu begründen. Laut Voraussetzung ist <math>a</math> eine natürliche Zahl. Es können 2 Fälle eintreten:
 
 
# <math>a</math> ist durch <math>p</math> teilbar. Dann ist auch <math>a^2</math> durch <math>p</math> teilbar
 
# <math>a</math> ist nicht durch <math>p</math> teilbar. Dann ist auch <math>a^2</math> auch nicht durch <math>p</math> teilbar, weil wenn <math>p</math> nicht in der Primzahlenzerlegung von <math>a</math> vorkommt, kann es auch nicht in der von <math>a^2</math> vorkommen
 
 
Weil nur diese 2 Fälle eintreten können, ist auch die Umkehrung wahr: Wenn <math>a^2</math> durch <math>p</math> teilbar ist, dann auch <math>a</math>.
 
 
Für nicht-prim <math>p</math>, ist der Beweis direkt so nicht möglich. Stattdessen nimmt man eine Primzahl <math>q</math>, die in der Zerlegung von <math>p</math> nicht mit geradem exponenten vorkommt. Dann kann der obige Beweis mit <math>q</math> statt <math>p</math> geführt werden d.h. es wird gezeigt, dass beide Zahlen vielfave von <math>q</math> sind. Es reicht ja zu zeigen, dass beide Zahlen einen gemeinsamen Teiler <math>\ge 2</math> haben
 

Revision as of 16:12, 19 April 2019

Zeigen Sie, dass  \sqrt{3} irrational ist!

Hilfreiches

Indirekter Beweis

Baustein:Primzahl teilt Quadrat

Lösungsvorschlag von samuelp

Angenommen:  \sqrt{3} ist eine rationale Zahl. Dann ist es möglich \sqrt{3} als Bruch darzustellen: \sqrt{3}={a\over b} mit natürlichen Zahlen a und b. Weil es für jede rationale Zahl einen Burch gibt, der soweit wie möglich gekürzt ist, muss das auch für \sqrt{3} gelten. Wir nehmen an {a\over b} ist dieser Bruch und somit maximal gekürzt.

Wir versuchen einen auf einen Widerspruch zu stoßen. Dazu formen wir um:


\begin{align}
\sqrt{3} &=& {a\over b} \\
3 &=& {a^2 \over b^2} \\
3 b^2 &=& a^2
\end{align}

Aus der letzten Gleichung geht hervor, dass a^2 durch 3 teilbar ist. Weil 3 eine Primzahl ist, muss auch a durch 3 teilbar sein (siehe Erlärung oben), setzen wir r sodass a=3r.

Weitere Umformung:


\begin{align}
3 b^2 &=& a^2 \\
3 b^2 &=& 9 r^2 \\
b^2 &=& 3 r^2
\end{align}

Ähnlich wie oben erkennen wir, dass b^2 durch 3 teilbar ist und damit auch b.

Jetzt erkennen wir einen Widerspruch zu unserer Annahme, dass der Bruch {a\over b} soweit wie möglich gekürzt ist, da sowohl a als auch b durch 3 teilbar sind.