Difference between revisions of "TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 25"

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Indirekter Beweis
Indirekter Beweis


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== Lösungsvorschlag von samuelp ==
== Lösungsvorschlag von samuelp ==


'''Angenommen''': <math> \sqrt{3}</math> ist eine rationale Zahl. Dann ist es möglich <math>\sqrt{3}</math> als Bruch darzustellen: <math>\sqrt{3}={a\over b}</math> mit natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>. Weil es für jede rationale Zahl einen Burch gibt, der soweit wie möglich gekürzt ist, muss das auch für <math>\sqrt{3}</math> gelten. Wir nehmen an <math>{a\over b}</math> ist dieser Bruch und somit maximal gekürzt.
'''Angenommen''': <math> \sqrt{3}</math> ist eine rationale Zahl. Dann ist es möglich <math>\sqrt{3}</math> als Bruch darzustellen: <math>\sqrt{3}={a\over b}</math> mit natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>. Weil es für jede rationale Zahl einen Burch gibt, der soweit wie möglich gekürzt ist, muss das auch für <math>\sqrt{3}</math> gelten. Wir nehmen an <math>{a\over b}</math> ist dieser Bruch und somit maximal gekürzt ist.


Wir versuchen einen auf einen Widerspruch zu stoßen. Dazu formen wir um:
Wir versuchen einen auf einen Widerspruch zu stoßen. Dazu formen wir um:

Latest revision as of 11:01, 28 September 2019

Zeigen Sie, dass irrational ist!

Hilfreiches[edit]

Indirekter Beweis

Primzahl teilt Quadrat
Primzahl teilt Quadrat[Bearbeiten]

wenn dann auch Es gelten folgende Voraussetzungen:

  • muss eine Primzahl sein
  • muss eine ganze Zahl sein

Es ist etwas Erklärung notwendig, um dieses Statement zu begründen. Laut Voraussetzung ist eine natürliche Zahl. Es können 2 Fälle eintreten:

  1. ist durch teilbar. Dann ist auch durch teilbar
  2. ist nicht durch teilbar. Dann ist auch nicht durch teilbar: wenn nicht in der Primzahlenzerlegung von vorkommt, kann es auch nicht in der von vorkommen

Die Kontraposition des zweiten Falls: "Wenn durch teilbar ist, dann auch ". (Wäre nicht durch teilbar dann auch nicht)

Lösungsvorschlag von samuelp[edit]

Angenommen: ist eine rationale Zahl. Dann ist es möglich als Bruch darzustellen: mit natürlichen Zahlen und . Weil es für jede rationale Zahl einen Burch gibt, der soweit wie möglich gekürzt ist, muss das auch für gelten. Wir nehmen an ist dieser Bruch und somit maximal gekürzt ist.

Wir versuchen einen auf einen Widerspruch zu stoßen. Dazu formen wir um:

Aus der letzten Gleichung geht hervor, dass durch 3 teilbar ist. Weil 3 eine Primzahl ist, muss auch durch 3 teilbar sein (siehe Erlärung oben), setzen wir sodass .

Weitere Umformung:

Ähnlich wie oben erkennen wir, dass durch 3 teilbar ist und damit auch .

Jetzt erkennen wir einen Widerspruch zu unserer Annahme, dass der Bruch soweit wie möglich gekürzt ist, da sowohl als auch durch 3 teilbar sind.