Difference between revisions of "TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 25"

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Zeigen Sie, dass irrational ist!

Hilfreiches

Indirekter Beweis

Lösungsvorschlag von samuelp

Angenommen, ist eine rationale Zahl. Dann ist es möglich als Bruch darzustellen: mit natürlichen Zahlen und . Wir setzen voraus, dass der Bruch soweit wie möglich gekürzt ist.

Wir versuchen einen auf einen Widerspruch zu stoßen. Dazu formen wir um:

Aus der letzten Gleichung geht hervor, dass durch 3 teilbar ist. Weil 3 eine Primzahl ist, muss auch durch 3 teilbar sein (siehe Erlärung unten), setzen wir sodass .

Weitere Umformung:

Ähnlich wie oben erkennen wir, dass durch 3 teilbar ist und damit auch .

Jetzt erkennen wir einen Widerspruch zu unserer Annahme, dass der Bruch soweit wie möglich gekürzt ist, da sowohl als auch durch 3 teilbar sind.

wenn druch eine Primzahl teilbar ist, dann auch

Es ist etwas Erklärung notwendig, um dieses Statement zu begründen. Laut Voraussetzung ist eine natürliche Zahl. Es können 2 Fälle eintreten:

  1. ist durch teilbar. Dann ist auch durch teilbar
  2. ist nicht durch teilbar. Dann ist auch auch nicht durch teilbar, weil wenn nicht in der Primzahlenzerlegung von vorkommt, kann es auch nicht in der von vorkommen

Weil nur diese 2 Fälle eintreten können, ist auch die Umkehrung wahr: Wenn durch teilbar ist, dann auch .

Für nicht-prim , ist der Beweis direkt so nicht möglich. Stattdessen nimmt man eine Primzahl , die in der Zerlegung von nicht mit geradem exponenten vorkommt. Dann kann der obige Beweis mit statt geführt werden d.h. es wird gezeigt, dass beide Zahlen vielfave von sind. Es reicht ja zu zeigen, dass beide Zahlen einen gemeinsamen Teiler haben