Difference between revisions of "TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 25"

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Indirekter Beweis
 
Indirekter Beweis
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{{Baustein:Primzahl teilt Quadrat}}
  
 
== Lösungsvorschlag von samuelp ==
 
== Lösungsvorschlag von samuelp ==
  
'''Angenommen''', <math> \sqrt{3}</math> ist eine rationale Zahl. Dann ist es möglich <math> \sqrt{3}</math> als Bruch darzustellen: <math>\sqrt{3}={a\over b}</math> mit natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>. Wir setzen voraus, dass der Bruch <math>{a\over b}</math> soweit wie möglich gekürzt ist.
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'''Angenommen''': <math> \sqrt{3}</math> ist eine rationale Zahl. Dann ist es möglich <math>\sqrt{3}</math> als Bruch darzustellen: <math>\sqrt{3}={a\over b}</math> mit natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>. Weil es für jede rationale Zahl einen Burch gibt, der soweit wie möglich gekürzt ist, muss das auch für <math>\sqrt{3}</math> gelten. Wir nehmen an <math>{a\over b}</math> ist dieser Bruch und somit maximal gekürzt.
  
 
Wir versuchen einen auf einen Widerspruch zu stoßen. Dazu formen wir um:
 
Wir versuchen einen auf einen Widerspruch zu stoßen. Dazu formen wir um:
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Aus der letzten Gleichung geht hervor, dass <math>a^2</math> durch 3 teilbar ist. Weil 3 eine Primzahl ist, muss auch <math>a</math> durch 3 teilbar sein (siehe Erlärung unten), setzen wir <math>r</math> sodass <math>a=3r</math>.
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Aus der letzten Gleichung geht hervor, dass <math>a^2</math> durch 3 teilbar ist. Weil 3 eine Primzahl ist, muss auch <math>a</math> durch 3 teilbar sein (siehe Erlärung oben), setzen wir <math>r</math> sodass <math>a=3r</math>.
  
 
Weitere Umformung:
 
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Jetzt erkennen wir einen Widerspruch zu unserer Annahme, dass der Bruch <math>{a\over b}</math> soweit wie möglich gekürzt ist, da sowohl <math>a</math> als auch <math>b</math> durch 3 teilbar sind.
 
Jetzt erkennen wir einen Widerspruch zu unserer Annahme, dass der Bruch <math>{a\over b}</math> soweit wie möglich gekürzt ist, da sowohl <math>a</math> als auch <math>b</math> durch 3 teilbar sind.
 
=== wenn <math>a^2</math> druch eine Primzahl <math>p</math> teilbar ist, dann auch <math>a</math> ===
 
 
Es ist etwas Erklärung notwendig, um dieses Statement zu begründen. Laut Voraussetzung ist <math>a</math> eine natürliche Zahl. Es können 2 Fälle eintreten:
 
 
# <math>a</math> ist durch <math>p</math> teilbar. Dann ist auch <math>a^2</math> durch <math>p</math> teilbar
 
# <math>a</math> ist nicht durch <math>p</math> teilbar. Dann ist auch <math>a^2</math> auch nicht durch <math>p</math> teilbar, weil wenn <math>p</math> nicht in der Primzahlenzerlegung von <math>a</math> vorkommt, kann es auch nicht in der von <math>a^2</math> vorkommen
 
 
Weil nur diese 2 Fälle eintreten können, ist auch die Umkehrung wahr: Wenn <math>a^2</math> durch <math>p</math> teilbar ist, dann auch <math>a</math>.
 
 
Für nicht-prim <math>p</math>, ist der Beweis direkt so nicht möglich. Stattdessen nimmt man eine Primzahl <math>q</math>, die in der Zerlegung von <math>p</math> nicht mit geradem exponenten vorkommt. Dann kann der obige Beweis mit <math>q</math> statt <math>p</math> geführt werden d.h. es wird gezeigt, dass beide Zahlen vielfave von <math>q</math> sind. Es reicht ja zu zeigen, dass beide Zahlen einen gemeinsamen Teiler <math>\ge 2</math> haben
 

Revision as of 16:12, 19 April 2019

Zeigen Sie, dass irrational ist!

Hilfreiches

Indirekter Beweis

Baustein:Primzahl teilt Quadrat

Lösungsvorschlag von samuelp

Angenommen: ist eine rationale Zahl. Dann ist es möglich als Bruch darzustellen: mit natürlichen Zahlen und . Weil es für jede rationale Zahl einen Burch gibt, der soweit wie möglich gekürzt ist, muss das auch für gelten. Wir nehmen an ist dieser Bruch und somit maximal gekürzt.

Wir versuchen einen auf einen Widerspruch zu stoßen. Dazu formen wir um:

Aus der letzten Gleichung geht hervor, dass durch 3 teilbar ist. Weil 3 eine Primzahl ist, muss auch durch 3 teilbar sein (siehe Erlärung oben), setzen wir sodass .

Weitere Umformung:

Ähnlich wie oben erkennen wir, dass durch 3 teilbar ist und damit auch .

Jetzt erkennen wir einen Widerspruch zu unserer Annahme, dass der Bruch soweit wie möglich gekürzt ist, da sowohl als auch durch 3 teilbar sind.