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TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 25

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Zeigen Sie, dass  \sqrt{3} irrational ist!

HilfreichesBearbeiten

Indirekter Beweis


Primzahl teilt Quadrat[Bearbeiten]

wenn   dann auch  

Es gelten folgende Voraussetzungen:

  •   muss eine Primzahl sein
  •   muss eine ganze Zahl sein

Es ist etwas Erklärung notwendig, um dieses Statement zu begründen. Laut Voraussetzung ist   eine natürliche Zahl. Es können 2 Fälle eintreten:

  1.   ist durch   teilbar. Dann ist auch   durch   teilbar
  2.   ist nicht durch   teilbar. Dann ist auch   auch nicht durch   teilbar: wenn   nicht in der Primzahlenzerlegung von   vorkommt, kann es auch nicht in der von   vorkommen

Die Kontraposition des zweiten Falls: "Wenn   durch   teilbar ist, dann auch  ". (Wäre   nicht durch   teilbar dann auch   nicht)

Lösungsvorschlag von samuelpBearbeiten

Angenommen:   ist eine rationale Zahl. Dann ist es möglich   als Bruch darzustellen:   mit natürlichen Zahlen   und  . Weil es für jede rationale Zahl einen Burch gibt, der soweit wie möglich gekürzt ist, muss das auch für   gelten. Wir nehmen an   ist dieser Bruch und somit maximal gekürzt ist.

Wir versuchen einen auf einen Widerspruch zu stoßen. Dazu formen wir um:

 

Aus der letzten Gleichung geht hervor, dass   durch 3 teilbar ist. Weil 3 eine Primzahl ist, muss auch   durch 3 teilbar sein (siehe Erlärung oben), setzen wir   sodass  .

Weitere Umformung:

 

Ähnlich wie oben erkennen wir, dass   durch 3 teilbar ist und damit auch  .

Jetzt erkennen wir einen Widerspruch zu unserer Annahme, dass der Bruch   soweit wie möglich gekürzt ist, da sowohl   als auch   durch 3 teilbar sind.