TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 25

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Vorlage:Bsp

Zeigen Sie, dass  \sqrt{3} irrational ist!

Hilfreiches

Indirekter Beweis

Lösungsvorschlag von samuelp

Angenommen,  \sqrt{3} ist eine rationale Zahl. Dann ist es möglich  \sqrt{3} als Bruch darzustellen: \sqrt{3}={a\over b} mit natürlichen Zahlen a und b. Wir setzen voraus, dass der Bruch {a\over b} soweit wie möglich gekürzt ist.

Wir versuchen einen auf einen Widerspruch zu stoßen. Dazu formen wir um:



\begin{align}
\sqrt{3} &=& {a\over b} \\
3 &=& {a^2 \over b^2} \\
3 b^2 &=& a^2
\end{align}

Aus der letzten Gleichung geht hervor, dass a^2 durch 3 teilbar ist. Weil 3 eine Primzahl ist, muss auch a durch 3 teilbar sein (siehe Erlärung unten), setzen wir r sodass a=3r.

Weitere Umformung:


\begin{align}
3 b^2 &=& a^2 \\
3 b^2 &=& 9 r^2 \\
b^2 &=& 3 r^2
\end{align}

Ähnlich wie oben erkennen wir, dass b^2 durch 3 teilbar ist und damit auch b.

Jetzt erkennen wir einen Widerspruch zu unserer Annahme, dass der Bruch {a\over b} soweit wie möglich gekürzt ist, da sowohl a als auch b durch 3 teilbar sind.

wenn a^2 druch eine Primzahl p teilbar ist, dann auch a

Es ist etwas Erklärung notwendig, um dieses Statement zu begründen. Laut Voraussetzung ist a eine natürliche Zahl. Es können 2 Fälle eintreten:

  1. a ist durch p teilbar. Dann ist auch a^2 durch p teilbar
  2. a ist nicht durch p teilbar. Dann ist auch a^2 auch nicht durch p teilbar, weil wenn p nicht in der Primzahlenzerlegung von a vorkommt, kann es auch nicht in der von a^2 vorkommen

Weil nur diese 2 Fälle eintreten können, ist auch die Umkehrung wahr: Wenn a^2 durch p teilbar ist, dann auch a.

Für nicht-prim p, ist der Beweis direkt so nicht möglich. Stattdessen nimmt man eine Primzahl q, die in der Zerlegung von p nicht mit geradem exponenten vorkommt. Dann kann der obige Beweis mit q statt p geführt werden d.h. es wird gezeigt, dass beide Zahlen vielfave von q sind. Es reicht ja zu zeigen, dass beide Zahlen einen gemeinsamen Teiler \ge 2 haben