TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 25

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Zeigen Sie, dass  \sqrt{3} irrational ist!

Hilfreiches

Indirekter Beweis


Primzahl teilt Quadrat[Bearbeiten]

wenn p|a^2 dann auch p|a

Es gelten folgende Voraussetzungen:

  • p muss eine Primzahl sein
  • a muss eine ganze Zahl sein

Es ist etwas Erklärung notwendig, um dieses Statement zu begründen. Laut Voraussetzung ist a eine natürliche Zahl. Es können 2 Fälle eintreten:

  1. a ist durch p teilbar. Dann ist auch a^2 durch p teilbar
  2. a ist nicht durch p teilbar. Dann ist auch a^2 auch nicht durch p teilbar: wenn p nicht in der Primzahlenzerlegung von a vorkommt, kann es auch nicht in der von a^2 vorkommen

Die Kontraposition des zweiten Falls: "Wenn a^2 durch p teilbar ist, dann auch a". (Wäre a nicht durch p teilbar dann auch a^2 nicht)

Lösungsvorschlag von samuelp

Angenommen:  \sqrt{3} ist eine rationale Zahl. Dann ist es möglich \sqrt{3} als Bruch darzustellen: \sqrt{3}={a\over b} mit natürlichen Zahlen a und b. Weil es für jede rationale Zahl einen Burch gibt, der soweit wie möglich gekürzt ist, muss das auch für \sqrt{3} gelten. Wir nehmen an {a\over b} ist dieser Bruch und somit maximal gekürzt.

Wir versuchen einen auf einen Widerspruch zu stoßen. Dazu formen wir um:


\begin{align}
\sqrt{3} &=& {a\over b} \\
3 &=& {a^2 \over b^2} \\
3 b^2 &=& a^2
\end{align}

Aus der letzten Gleichung geht hervor, dass a^2 durch 3 teilbar ist. Weil 3 eine Primzahl ist, muss auch a durch 3 teilbar sein (siehe Erlärung oben), setzen wir r sodass a=3r.

Weitere Umformung:


\begin{align}
3 b^2 &=& a^2 \\
3 b^2 &=& 9 r^2 \\
b^2 &=& 3 r^2
\end{align}

Ähnlich wie oben erkennen wir, dass b^2 durch 3 teilbar ist und damit auch b.

Jetzt erkennen wir einen Widerspruch zu unserer Annahme, dass der Bruch {a\over b} soweit wie möglich gekürzt ist, da sowohl a als auch b durch 3 teilbar sind.