TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 25

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Zeigen Sie, dass irrational ist!

Hilfreiches

Indirekter Beweis

Baustein:Primzahl teilt Quadrat

Lösungsvorschlag von samuelp

Angenommen: ist eine rationale Zahl. Dann ist es möglich als Bruch darzustellen: mit natürlichen Zahlen und . Weil es für jede rationale Zahl einen Burch gibt, der soweit wie möglich gekürzt ist, muss das auch für gelten. Wir nehmen an ist dieser Bruch und somit maximal gekürzt ist.

Wir versuchen einen auf einen Widerspruch zu stoßen. Dazu formen wir um:

Aus der letzten Gleichung geht hervor, dass durch 3 teilbar ist. Weil 3 eine Primzahl ist, muss auch durch 3 teilbar sein (siehe Erlärung oben), setzen wir sodass .

Weitere Umformung:

Ähnlich wie oben erkennen wir, dass durch 3 teilbar ist und damit auch .

Jetzt erkennen wir einen Widerspruch zu unserer Annahme, dass der Bruch soweit wie möglich gekürzt ist, da sowohl als auch durch 3 teilbar sind.