Difference between revisions of "TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 26"

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Zeigen Sie, dass <math> \sqrt{5} </math> irrational ist!
 
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== Lösungsvorschlag von samuelp ==
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'''Angenommen''': <math> \sqrt{5}</math> ist eine rationale Zahl. Dann ist es möglich <math>\sqrt{5}</math> als Bruch darzustellen: <math>\sqrt{5}={a\over b}</math> mit natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>. Weil es für jede rationale Zahl einen Burch gibt, der soweit wie möglich gekürzt ist, muss das auch für <math>\sqrt{5}</math> gelten. Wir nehmen an <math>{a\over b}</math> ist dieser Bruch und somit maximal gekürzt ist.
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Wir versuchen einen auf einen Widerspruch zu stoßen. Dazu formen wir um:
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\begin{align}
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\sqrt{5} &=& {a\over b} \\
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5 &=& {a^2 \over b^2} \\
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5 b^2 &=& a^2
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\end{align}
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</math>
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Aus der letzten Gleichung geht hervor, dass <math>a^2</math> durch 5 teilbar ist. Weil 5 eine Primzahl ist, muss auch <math>a</math> durch 5 teilbar sein (siehe Erlärung oben), setzen wir <math>r</math> sodass <math>a=5r</math>.
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Weitere Umformung:
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<math>
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\begin{align}
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5 b^2 &=& a^2 \\
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5 b^2 &=& 25 r^2 \\
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b^2 &=& 5 r^2
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\end{align}
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</math>
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Ähnlich wie oben erkennen wir, dass  <math>b^2</math> durch 5 teilbar ist und damit auch <math>b</math>.
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Jetzt erkennen wir einen Widerspruch zu unserer Annahme, dass der Bruch <math>{a\over b}</math> soweit wie möglich gekürzt ist, da sowohl <math>a</math> als auch <math>b</math> durch 5 teilbar sind.
  
 
== Lösungsvorschlag ==
 
== Lösungsvorschlag ==

Revision as of 17:15, 19 April 2019

Zeigen Sie, dass irrational ist!

Hilfreiches

Indirekter Beweis

Baustein:Primzahl teilt Quadrat


Lösungsvorschlag von samuelp

Angenommen: ist eine rationale Zahl. Dann ist es möglich als Bruch darzustellen: mit natürlichen Zahlen und . Weil es für jede rationale Zahl einen Burch gibt, der soweit wie möglich gekürzt ist, muss das auch für gelten. Wir nehmen an ist dieser Bruch und somit maximal gekürzt ist.

Wir versuchen einen auf einen Widerspruch zu stoßen. Dazu formen wir um:

Aus der letzten Gleichung geht hervor, dass durch 5 teilbar ist. Weil 5 eine Primzahl ist, muss auch durch 5 teilbar sein (siehe Erlärung oben), setzen wir sodass .

Weitere Umformung:

Ähnlich wie oben erkennen wir, dass durch 5 teilbar ist und damit auch .

Jetzt erkennen wir einen Widerspruch zu unserer Annahme, dass der Bruch soweit wie möglich gekürzt ist, da sowohl als auch durch 5 teilbar sind.

Lösungsvorschlag

  • Behauptung:
  • Beweis:

angenommen , wobei (="p und q sind teilerfremd")

ist durch 5 teilbar ist durch 5 teilbar (weil 5 eine Primzahl ist. -> Primfaktorzerlegung siehe Forenbeitrag unten. wurde auch in Mathematik1 Übungsgruppe GL 09.11.06 - Urbanek so abgehandelt)

ist durch 5 teilbar ist durch 5 teilbar

sind nicht teilerfremd, weil beide durch 5 und nicht nur durch 1 (siehe Annahme) teilbar sind


(aus f.thread:35452 - mit AMSLaTeX formatiert) --Mnemetz 20:32, 18. Okt 2005 (CEST)