Difference between revisions of "TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 3"

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Man zeige durch vollständige Induktion, dass <math>7^n-1</math> für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> durch 6 teilbar ist.
 
Man zeige durch vollständige Induktion, dass <math>7^n-1</math> für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> durch 6 teilbar ist.
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== Lösungsvorschlag ==
 
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'''Induktionsvoraussetzung''':
 
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P(n):=6|7^n-1 \Leftrightarrow 7^n-1=6*k , k\in\mathbb{N}
 
P(n):=6|7^n-1 \Leftrightarrow 7^n-1=6*k , k\in\mathbb{N}
 
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'''Induktionsanfang''':
 
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P(0)=6 | 7^0-1 \Leftrightarrow 6|0
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P(0)=6 | 7^0-1 \Leftrightarrow 6|0 \\
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P(1)=6 | 7^1-1 \Leftrightarrow 6|6
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(nicht notwendig, nur zur Veranschaulichung, P(0) ist ausreichend)
P(1)=6 | 7^1-1 \Leftrightarrow 6|6
 
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'''Induktionsschritt''':
 
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P(n+1) = 6|7^{n+1}-1
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\begin{align}
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P(n+1)   =&\ 6|7^{n+1}-1 \\ \\
 +
7^{n+1}-1 =&\ 7*7^n-1 \ \overset{I.V.}{\Leftrightarrow} \ 7*6*k \\ \\
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\end{align}
 
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<small> Anm: I.V. = Induktions Voraussetzung; Einsetzen der I.V.: <math> 7^n-1\Leftrightarrow6*k</math></small>
7^{n+1}-1 = 7*7^n-1 \Leftarrow ^{I.V.} \Rightarrow 7*6*k
 
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P(n+1) = 6| 7*6*k\Box
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\begin{align}
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P(n+1)   =&\ 6| 7*6*k&  \\
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& &\Box
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\end{align}
 
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== Links ==
 
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Latest revision as of 16:55, 7 March 2019

Man zeige durch vollständige Induktion, dass 7^n-1 für alle n\in\mathbb{N} durch 6 teilbar ist.

Hilfreiches[edit]

Lösungsvorschlag[edit]

Induktionsvoraussetzung:


P(n):=6|7^n-1 \Leftrightarrow 7^n-1=6*k , k\in\mathbb{N}

Induktionsanfang:


\begin{align}
P(0)=6 | 7^0-1 \Leftrightarrow 6|0 \\
P(1)=6 | 7^1-1 \Leftrightarrow 6|6
\end{align}

(nicht notwendig, nur zur Veranschaulichung, P(0) ist ausreichend)

Induktionsschritt:


P(n)\Rightarrow P(n+1)

Induktionsbehauptung:


\begin{align}
P(n+1)    =&\ 6|7^{n+1}-1 \\ \\
7^{n+1}-1 =&\ 7*7^n-1 \ \overset{I.V.}{\Leftrightarrow} \ 7*6*k \\ \\ 
\end{align}

Anm: I.V. = Induktions Voraussetzung; Einsetzen der I.V.:  7^n-1\Leftrightarrow6*k


\begin{align}
P(n+1)    =&\ 6| 7*6*k&  \\
& &\Box
\end{align}

Links[edit]