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TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 30

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Zeigen sie, dass  \sqrt{40} irrational ist.

Lösungsvorschlag von frunobulaxBearbeiten

Beweis durch WiderspruchBearbeiten

Angeommen  . Letzteres ist o.B.d.A. möglich: Sind sie nicht teilerfremd, so kann der Bruch gekürzt werden bis teilerfremde   gefunden werden.

 

 

Somit ist   durch 40 teilbar. 40 ist keine Quadratzahl, somit ist auch   durch 40 teilbar:  

 

 

Somit ist auch   durch 40 teilbar, und somit auch  . Dies widerspricht der Annahme der Teilerfremdheit!

Daher ist  .