TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 30

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Zeigen sie, dass  \sqrt{40} irrational ist.

Lösungsvorschlag von frunobulax[Bearbeiten]

Beweis durch Widerspruch[Bearbeiten]

Angeommen  \sqrt{40} = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q}, p, q \in \mathbb{N}, q
> 0, ggT(p, q) = 1 . Letzteres ist o.B.d.A. möglich: Sind sie nicht teilerfremd, so kann der Bruch gekürzt werden bis teilerfremde  p, q
gefunden werden.

 40 = \frac{p^2}{q^2}

 40q^2 = p^2

Somit ist  p^2 durch 40 teilbar. 40 ist keine Quadratzahl, somit ist auch  p durch 40 teilbar:  p = 40n

 (40n)^2 = 40q^2

 40n^2 = q^2

Somit ist auch  q^2 durch 40 teilbar, und somit auch  q
. Dies widerspricht der Annahme der Teilerfremdheit!

Daher ist  \sqrt{40} \notin \mathbb{Q} .