TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 334

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Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation \circ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist:

M=\{0,1,2\}

m \circ n = \min(m+n,2)

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

1. Abgeschlossenheit[Bearbeiten]

m \circ n = \min(m+n,2) liegt immer zwischen 0 und 2. Somit ist Abgeschlossenheit gegeben.

2. Assoziativität[Bearbeiten]

Allgemein: (m \circ n) \circ p = m \circ (n \circ p)

 \min(\min(m+n),2)+p,2) = \min(m+\min(n+p,2),2)

Bsp: m=0, n=1, p=2

-> 2=2 Assoziativität ist gegeben!

3. Neutrales Element[Bearbeiten]

Allgemein: m \circ e=m

\min(m+e,2) = m

\min(m+0,2) = m

Das neutrale Element ist vorhanden und ist 0.

4. Inverse Elemente[Bearbeiten]

Allgemein: m \circ m^{-1}=e

\min(m+x,2) = e = 0

-> keine inversen Elemente vorhanden

Die vorliegende algebraische Struktur ist ein Monoid.