TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 364

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Man bestimme die Untergruppen einer zyklischen Gruppe der Ordnung 6, d.h. von G={e, a, a^2, a^3, a^4, a^5}

Theoretische Grundlagen:

Eine Untergruppe ist eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe.

Eine Untergruppe ist selbst eine Gruppe (d.h. assoziativ, neutrales Element, zu jedem Element gibt es ein inverses).

Anmerkung

Das Assoziativgesetz muss nicht überprüft werden, da es in ganz G gilt.

Lösungsvorschlag 1

U = {a}; {b}; {a^2}; {a^3}; {a^4}; {a^5}; {a \circ a^2, *}; {a \circ a^3, *}; {a \circ a^4, *}; {a^2 \circ a^3, *};

Ich habe echt keine Ahnung ob die Lösung korrekt oder vollständig ist - also bitte zahlreiche Kommentare!

Hab die Lösung in einem anderen Forum gepostet - angeblich ist das falsch also net übernehmen!

Lösungsvorschlag von Flumm:

U_1 = {e, a^2, a^4};

Da a^2 \circ a^2 = a^4,

und a^2 \circ a^4 = a^6 = e,

und a^4 \circ a^4 = a^8 = a^6 \circ a^2 = e \circ a^2 = a^2


U_2 = {e, a^3};

Da a^3 \circ a^3 = a^6 = e


und natürlich die trivialen Untergruppen:

U_3 = {e}; und

U_4 = {e, a, a^2, a^3, a^4, a^5};


keine Ahnung ob das richtig ist.

Edit by Flumm:

Hab es so in der Übung vorgerechnet und hat gestimmt :)


Hallo!

Meiner Meinung kommt man mit diesen Lösungen schon aus der Gruppe wieder heraus, aber ich hab ehrlich gesagt nicht wirklich erfahrung mit dem Thema.

Vorschlag von Flumm stimmt wahrscheinlich, weil die Gruppe ja zyklisch ist und man deshalb nicht hinauskommt, weil: a^2=a \circ a usw...vlt darf man das Beispiel ja beweisen, indem man zB 1 als erzeugendes Element der zyklischen Gruppe nimmt und sie bezüglich der Addition beweist(in der Angabe steht ja "einer" zyklischen Gruppe), was ja dann eigentlich kein großes Problem darstellen solte

ms

AndiOnline, 16.01.2008: Die Lösung ist meiner Meinung nach ok. Anfangs glaubte ich, dass es noch eine weitere Untergruppe gibt, nämlich {e,a,a^5}. a*a^5=a^6=e stimmt, doch a^5*a^5=a^25 liegt nicht in G, daher nicht abgeschlossen.


U_5 = {e, a, a^5}; geht zum Beispiel nicht weil a^5 o a^5 = a^4 und a^4 ist nicht in U_5 enthalten. (Macht euch eine Gruppentafel!!)