TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 366

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Sei G die Menge der Permutationen

{(1), (13), (24), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (1234), (1432)}

Man veranschauliche G, indem man die Permutationen auf die vier Eckpunkte eines Quadrats wirken lasse und als geometrische Operationen interpretiere. Man zeige mit Hilfe dieser Interpretation, dass G eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe S4 ist (Symmetriegruppe des Quadrates) und bestimme alle Untergruppen

Lösungsvorschlag von Mathi

Hier mal die grafische Interpretation:

(1) --> Alles bleibt gleich

(13) --> Spiegelung über Diagonale 2,4

(24) --> Spiegelung über Diagonale 1,3

(12)(34) --> Spiegelung über links/rechts

(13)(24) --> Spiegelung über beide Diagonalen

(14)(23) --> Spiegelung über oben/unten

(1234) --> Drehung um 90°

(1432) --> Drehung um 270°