TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 398

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Man bestimme die "primen" Restklassen modulo 16, d.h. alle Restklassen mit ggT(a, 16)=1. Man zeige, daß die Menge dieser primen Restklassen bezüglich der Restklassenmultiplikation eine Gruppe bildet.

Hilfreiches

Gruppe
Gruppe

Eine Gruppe ist

  • abgeschlossen bzgl. der Operation in G,
  • assoziativ: ,
  • beinhaltet ein neutrales Element :
  • sowie inverse Elemente: .

Lösungsvorschlag

Überprüfen ob wieder eine Gruppe ist:

  • Abgeschlossen: Ungerade * Ungerade = Ungerade, daher ist diese algebraische Struktur abgeschlossen (zumindest Gruppoid)
  • Assoziativ: Da Z_{16} eine Gruppe bildet braucht man das Assoziativgesetz nicht überprüfen (zumindest Halbgruppe)
  • Existens eine neutralen Elements: 1 (zumindest Monoid)
  • Inverses Element: (1,1), (3,11), (5,13), (7,7), (9,9,) (15,15) (tatsächlich Gruppe)

ist sogar eine abelsche Gruppe, da es kommutativ ist!

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