TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 408

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Untersuchen Sie, ob die folgende Struktur ein Ring, Integritätsbereich bzw. Körper ist:

mit der Addition und Multiplikation aus .

Angabe[edit]

Lösungsvorschlag von mnemetz[edit]

Für die Addition[edit]

Abgeschlossenheit[edit]

w + y , x + z abgeschlossen

Assoziativität[edit]

Daher: assoziativ

Neutrales Element (Einheitselement)[edit]


Inverses Element[edit]


Kommutativität[edit]

trivial


Schlussfolgerung[edit]

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.


Für die Multiplikation[edit]

Abgeschlossenheit[edit]

abgeschlossen

Assoziativität[edit]

trivial. Ist gegeben.


Neutrales Element[edit]


Inverses Element[edit]

Da x' und y' aus Q sind, muss und gelten. Somit sind x' und y' festgestellt, und jedes element aus M hat ein Inverses, ausser was genug ist, damit M Körper genannt werden kann.

Untersuchung des Nenners der rechten Seite:

Anmerkung:
da,

0 hat jedoch kein inverses Element in
!Die existenz eines inversen Elements von bezüglich ist KEINE Vorraussetzung für einen Körper.
Siehe S.82 in Drmotas "Mathematik für Informatik" (ISBN 9783885381174), nach der Definition 2.66: "Eine algebraische Struktur (K,+,*) ist also genau dann ein Körper, wenn (K,+) und (K\{0},*),*) kommutative Gruppen sind und die Distributivgesetze gelten." --Irfy 03:24, 14. Jan. 2010 (CET)

Kommutativität[edit]

trivial

Schlussfolgerung[edit]

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.


Schlussfolgerung[edit]

Es liegt ein Körper für vor.


Webressourcen[edit]

  Beispiel 286
  Beispiel 287
  Beispiel 288
  Beispiel 289
  Beispiel 291
  Beispiel 292
  Beispiel 293