Editing TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 424

{{Beispiel|1=
Sei <math><R,+,\cdot></math> ein Ring, in dem <math>a^2 = a</math> für alle <math>a \in R</math> gilt. Man zeige, dass dann auch <math>a + a = 0</math> für alle <math>a \in R</math> gilt. (Hinweis: Man betrachte <math>(a+a)^2</math>)
}}

== Lösung ==

Strikt dem Hinweis folgen. Zuerst wird <math>(a+a)^2</math> mithilfe des Distributivgesetzes aufgelöst:

<math>(a+a)^2 = (a+a) \cdot (a+a) = a \cdot (a+a) + a \cdot (a+a) = a^2 + a^2 + a^2 + a^2</math>

Man braucht hier zwei Schritte mit dem Distributivgesetz, weil wir keine Gesetze haben, die uns direkt <math>(a+a) \cdot (a+a)</math> auflösen lassen.

<math>\Rightarrow (a+a)^2 = a^2 + a^2 + a^2 + a^2</math>

Da jedes beliebige <math>a^2 = a</math> ist, können wir links und rechts die Quadrate entfernen:

<math>a + a = a + a + a + a</math>

Jetzt addieren wir zweimal das additive Inverse von a (sprich: (-a)):

<math>0 = a + a</math>

Voilà!

Anmerkung:

<math>0 = a + a</math>

<math> -a = a</math>

--> Das einzige Element das sich selbst als additives Inverses Element besitzt ist das neutrale Element bezüglich der Addition (0).

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